Variablen falsch eliminieren
Algebra | Klasse 8–10
Lineare Gleichungssysteme lösen lernen
Löse zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten mit Einsetzungs- und Additionsverfahren und verstehe die grafische Bedeutung im Koordinatensystem.
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Grafische Sicht
Quiz
Beispielaufgaben
a (vor x)
b (vor y)
c (rechte Seite)
a (vor x)
b (vor y)
c (rechte Seite)
x = 3
y = 2
Koordinatensystem
I: x + y = 5II: x - y = 1Schnittpunkt
Lösungsweg: Einsetzungsverfahren
1
Gleichung I nach x umstellen
x = (5 - 1y) / 1
Wir lösen die erste Gleichung (x + y = 5) nach x auf.
2
In Gleichung II einsetzen
1 · [(5 - 1y) / 1] + -1y = 1
Den Ausdruck für x setzen wir in die zweite Gleichung (x - y = 1) ein.
3
Nach y auflösen
y = 2
Wir vereinfachen und lösen nach y auf.
4
y einsetzen und x berechnen
x = (5 - 1 · 2) / 1 = 3
Wir setzen y = 2 zurück in die umgestellte Gleichung ein.
5
Lösung
x = 3, y = 2
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist S(3 | 2).
Merksätze
+
Additionsverfahren
Addiere (oder subtrahiere) die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt. Dazu ggf. eine Gleichung mit einem Faktor multiplizieren.
Eine Variable auf 0 bringen durch Addition/Subtraktion.
→
Einsetzungsverfahren
Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze den Ausdruck in die andere Gleichung ein.
Aus x = 3 − y wird in der zweiten Gleichung y bestimmt.
∩
Schnittpunkt
Die Lösung eines Gleichungssystems ist geometrisch der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Parallelgeraden: keine Lösung. Identische Geraden: unendlich viele.
?
Probe
Setze x und y in beide Ursprungsgleichungen ein, um die Lösung zu prüfen. Beide müssen aufgehen.
Probe in BEIDEN Gleichungen — nicht nur einer!
Erklärung
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen umgestellt und der Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt.
Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3 | 2). Das ist die einzige Lösung.
Ergebnis
Verfahren:Einsetzungsverfahren
Gleichung I:x + y = 5
Gleichung II:x - y = 1
Lösungstyp:Eindeutige Lösung
x:3
y:2
Das Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung x = 3 und y = 2. Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3 | 2).
Verfahren wählen
Schwierigkeit
9 Aufgaben verfügbar
Formeln & Regeln
Die wichtigsten Regeln zu Gleichungssystemen im Überblick.
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen und den Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen.
Merke: Umstellen → Einsetzen → Auflösen → Rückeinsetzen
I: x + y = 5 → x = 5 - y
In II einsetzen: 2(5 - y) - y = 4
Praktisch bei Koeffizient 1 oder -1
Additionsverfahren
Gleichungen so multiplizieren, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt.
Merke: Anpassen → Addieren/Subtrahieren → Auflösen → Einsetzen
I: x + y = 6 und II: x - y = 2
Addieren: 2x = 8 → x = 4
Praktisch bei gleichen/entgegengesetzten Koeffizienten
Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen nach derselben Variablen umstellen und die Ausdrücke gleichsetzen.
Merke: Umstellen → Gleichsetzen → Auflösen → Rückeinsetzen
I: y = 2x + 1 und II: y = -x + 7
Gleichsetzen: 2x + 1 = -x + 7
Praktisch wenn beide leicht umstellbar sind
Lösungstypen
Eindeutig: Geraden schneiden sich. Keine: Geraden parallel. Unendlich viele: Geraden identisch.
Merke: Die Determinante entscheidet: a₁·b₂ - a₂·b₁ ≠ 0 → eindeutig
Schnittpunkt → genau eine Lösung
Parallel → Widerspruch (z. B. 0 = 5)
Identisch → wahre Aussage (z. B. 0 = 0)
Wissen testen
Kurze Quizfragen zu Verfahren und Lösungstypen.
Verfahren erkennen
1/3
1.Welches Verfahren eignet sich am besten, wenn in einer Gleichung x alleine steht (z. B. x = 3y + 1)?
2.Wann bietet sich das Additionsverfahren besonders an?
3.Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variablen umgestellt. Was passiert dann?
Klasse 8–105–10 Minuten Einstiegmit Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Zwei Gleichungen mit System bearbeiten
Das passende Lösungsverfahren auswählen
Den Schnittpunkt zweier Geraden als Lösung verstehen
Rechenweg sauber und nachvollziehbar dokumentieren
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Sinnvoll für Klasse 8 bis 10 und für alle, die bei zwei Variablen schnell den Überblick verlieren.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Gleichungssysteme wirken zunächst kompliziert, weil man zwei Gleichungen gleichzeitig im Kopf behalten muss. Der Schlüssel liegt darin, eine Variable gezielt loszuwerden – und die Lösung dann als Schnittpunkt zweier Geraden zu sehen. Genau diese Verbindung zwischen Rechnung und Graph macht das Thema verständlich.
Typische Fehler
Vorzeichenfehler beim Addieren der Gleichungen
Den gefundenen Wert nicht zurückeinsetzen
Grafische und rechnerische Lösung nicht miteinander verbinden
So gehst du vor
- 1
Passendes Verfahren auswählen (Einsetzen oder Addieren)
- 2
Eine Variable isolieren oder gezielt eliminieren
- 3
Die zweite Variable berechnen
- 4
Den Wert in die andere Gleichung zurückeinsetzen
- 5
Lösung als Punkt im Koordinatensystem deuten
Für Lehrkräfte
Dieses Tool im Unterricht
Geeignet für
Klasse 8 bis 10
Dauer
15 bis 20 Minuten
Lernziel
Die Schülerinnen und Schüler lösen lineare Gleichungssysteme mit verschiedenen Verfahren und vergleichen passende Lösungswege.
So im Unterricht einsetzen
Gut einsetzbar nach der Einführung der Lösungsverfahren, als methodischer Vergleich oder zur Wiederholung vor Klassenarbeiten.
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Häufig gestellte Fragen
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, welches Verfahren passt?
In der Nachhilfe üben wir alle drei Verfahren mit steigender Schwierigkeit, bis klar ist, welches wann am besten passt.