Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen – Einsetzungs- und Additionsverfahren Schritt für Schritt erklärt, mit Koordinatensystem und Quiz.
Beispielaufgaben
Koordinatensystem
Lösungsweg: Einsetzungsverfahren
Gleichung I nach x umstellen
x = (5 - 1y) / 1
Wir lösen die erste Gleichung (x + y = 5) nach x auf.
In Gleichung II einsetzen
1 · [(5 - 1y) / 1] + -1y = 1
Den Ausdruck für x setzen wir in die zweite Gleichung (x - y = 1) ein.
Nach y auflösen
y = 2
Wir vereinfachen und lösen nach y auf.
y einsetzen und x berechnen
x = (5 - 1 · 2) / 1 = 3
Wir setzen y = 2 zurück in die umgestellte Gleichung ein.
Lösung
x = 3, y = 2
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist S(3 | 2).
Merksätze
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen und in die andere einsetzen. Besonders praktisch, wenn ein Koeffizient 1 oder -1 ist.
Merke: Umstellen → Einsetzen → Auflösen → Rückeinsetzen
Additionsverfahren
Beide Gleichungen so multiplizieren, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt.
Merke: Anpassen → Addieren/Subtrahieren → Auflösen → Einsetzen
Lösungstypen
Eindeutige Lösung: Geraden schneiden sich. Keine Lösung: Geraden sind parallel. Unendlich viele: Geraden sind identisch.
Die Determinante entscheidet: a₁·b₂ - a₂·b₁ ≠ 0 → eindeutig
Grafische Deutung
Jede lineare Gleichung beschreibt eine Gerade. Die Lösung eines LGS ist der Schnittpunkt der Geraden.
Probe: Lösung in beide Gleichungen einsetzen – beide müssen stimmen!
Erklärung
Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen umgestellt und der Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt.
Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3 | 2). Das ist die einzige Lösung.
Ergebnis
Das Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung x = 3 und y = 2. Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3 | 2).
Quiz
Teil 1 von 21.Löse: x + y = 6, x - y = 2. Was ist x?
2.Im gleichen System (x + y = 6, x - y = 2): Was ist y?
3.Welches Verfahren eignet sich am besten, wenn in einer Gleichung x alleine steht (z. B. x = 3y + 1)?