Kombinatorik
Lerne systematisch zu zählen: Anordnungen und Auswahlen verstehen – mit Baumdiagramm, Schritt-für-Schritt-Erklärung und Quiz.
Aktueller Fall: Variation ohne Wiederholung
Leicht ●
Mittel ●●
Schwer ●●●
Auf wie viele Arten kann man die 3 Buchstaben A, B und C in einer Reihe anordnen?
Baumdiagramm
Alle 6 Möglichkeiten:
Schritt-für-Schritt-Erklärung
Aufgabe lesen
Auf wie viele Arten kann man die 3 Buchstaben A, B und C in einer Reihe anordnen?
Wir haben 3 Elemente (A, B, C) und wählen 3 davon aus.
Was wird gezählt?
Wir zählen geordnete Auswahlen von 3 aus 3 Elementen.
Verschiedene Reihenfolgen gelten als verschiedene Möglichkeiten. Z. B. AB ≠ BA.
Ist die Reihenfolge wichtig?
Ja – die Reihenfolge ist wichtig.
AB und BA sind verschiedene Möglichkeiten. Wir brauchen eine Variation oder Permutation.
Ist Wiederholung erlaubt?
Nein – jedes Element darf nur einmal vorkommen.
Jedes Element kann höchstens einmal in einer Auswahl vorkommen.
Zählstrategie wählen
Fall: Variation ohne Wiederholung
Formel: 3! = 3 · 2 · 1 = 6
Möglichkeiten auflisten
Alle 6 Möglichkeiten sind unten aufgelistet.
Schau dir die Möglichkeiten in der Visualisierung oben an.
Ergebnis
Es gibt 6 Möglichkeiten (Variation ohne Wiederholung).
Formel: 3! = 6
Welcher Fall liegt vor?
Beantworte zwei Fragen, um den richtigen Fall zu finden:
1. Ist die Reihenfolge wichtig?
Ja → Variation / Permutation
Nein → Kombination
2. Ist Wiederholung erlaubt?
Ja → mit Wiederholung (n^k bzw. C(n+k−1, k))
Nein → ohne Wiederholung (n!/(n−k)! bzw. C(n, k))
Tipp: Stelle dir die Fragen immer in dieser Reihenfolge!
Häufige Fehler
Variation und Kombination verwechselt
Wenn AB und BA dasselbe sind, ist es eine Kombination. Wenn AB ≠ BA, ist es eine Variation.
Wiederholung übersehen
Achte darauf, ob ein Element mehrmals gewählt werden darf. „Zurücklegen“ = Wiederholung erlaubt.
Doppelt gezählt
Bei Kombinationen werden gleiche Gruppen nur einmal gezählt. {R, B} und {B, R} sind dasselbe!
Merksätze
Reihenfolge wichtig oder nicht?
Ist AB etwas anderes als BA? Falls ja, zählt die Reihenfolge (Variation/Permutation). Falls nein, zählt nur die Auswahl (Kombination).
Wiederholung erlaubt oder nicht?
Darf ein Element mehrmals gewählt werden? Z. B. darf dieselbe Eissorte zweimal im Becher sein? Oder wird eine Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt?
Baumdiagramm nutzen
Jeder Ast zeigt eine Wahlmöglichkeit. Die Anzahl der Pfade von der Wurzel zu einem Blatt ergibt die Gesamtzahl der Möglichkeiten.
Multiplikationsregel
Gibt es für den 1. Platz n Möglichkeiten und für den 2. Platz m Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n · m Möglichkeiten.
Fakultät (n!)
n! = n · (n−1) · … · 2 · 1. Z. B. 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Es gibt n! Möglichkeiten, n Objekte in einer Reihe anzuordnen.
Häufiger Fehler
Viele verwechseln Variation und Kombination. Frage dich immer zuerst: Ist die Reihenfolge wichtig? Erst danach die passende Formel wählen!
Quiz
3 Buchstaben anordnen
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben A, B und C in einer Reihe anzuordnen?
Ist die Reihenfolge wichtig?
Wie viele Anordnungen gibt es?