Fälle doppelt zählen
Kombinatorik | Klasse 9–11
Kombinatorik systematisch zählen lernen
Verstehe Anordnungen, Auswahlen und Zählstrategien mit Baumdiagrammen und klaren Schrittfolgen statt bloßem Raten.
Baumdiagramm
Auswahlen und Anordnungen
Systematisches Zählen
Quiz
Aktueller Fall: Variation ohne Wiederholung
Leicht ●
Mittel ●●
Schwer ●●●
Auf wie viele Arten kann man die 3 Buchstaben A, B und C in einer Reihe anordnen?
Baumdiagramm
Alle 6 Möglichkeiten:
ABCABCACBACBBACBACBCABCACABCABCBACBA
Schritt-für-Schritt-Erklärung
Elemente: A, B, C (n = 3)Wähle: k = 3Reihenfolge: wichtigWiederholung: nicht erlaubt
1
Aufgabe lesen
Auf wie viele Arten kann man die 3 Buchstaben A, B und C in einer Reihe anordnen?
Wir haben 3 Elemente (A, B, C) und wählen 3 davon aus.
2
Was wird gezählt?
Wir zählen geordnete Auswahlen von 3 aus 3 Elementen.
Verschiedene Reihenfolgen gelten als verschiedene Möglichkeiten. Z. B. AB ≠ BA.
3
Ist die Reihenfolge wichtig?
Ja – die Reihenfolge ist wichtig.
AB und BA sind verschiedene Möglichkeiten. Wir brauchen eine Variation oder Permutation.
4
Ist Wiederholung erlaubt?
Nein – jedes Element darf nur einmal vorkommen.
Jedes Element kann höchstens einmal in einer Auswahl vorkommen.
5
Zählstrategie wählen
Fall: Variation ohne Wiederholung
Formel: 3! = 3 · 2 · 1 = 6
6
Möglichkeiten auflisten
Alle 6 Möglichkeiten sind unten aufgelistet.
Schau dir die Möglichkeiten in der Visualisierung oben an.
7
Ergebnis
Es gibt 6 Möglichkeiten (Variation ohne Wiederholung).
Formel: 3! = 6
Es gibt 6 Möglichkeiten (Variation ohne Wiederholung).
Merksätze
n!
Fakultät
n! = n · (n−1) · … · 2 · 1. Beispiel: 4! = 4·3·2·1 = 24. Per Definition: 0! = 1.
Fakultät wächst sehr schnell: 10! = 3.628.800.
P
Permutation
Anordnung von n verschiedenen Objekten: P = n!. Alle Objekte werden verwendet, Reihenfolge zählt.
3 Bücher anordnen: P = 3! = 6 Möglichkeiten.
V
Variation
k Elemente aus n auswählen, Reihenfolge zählt. Ohne Wiederholung: V = n!/(n−k)!. Mit Wiederholung: V = nᵏ.
2 aus 4 ohne Wiederholen: V = 4·3 = 12.
C
Kombination
k Elemente aus n auswählen, Reihenfolge egal. C = n! / (k! · (n−k)!) = „n über k" (Binomialkoeffizient).
Lotto 6 aus 49: C = 49!/(6!·43!) = 13.983.816.
Thema wählen
Schwierigkeit
10 Aufgaben verfügbar
Formeln & Regeln
Die vier wichtigsten Fälle der Kombinatorik im Überblick.
Permutation (n!)
Alle n Objekte in einer Reihenfolge anordnen.
Merke: n! = n · (n−1) · ... · 2 · 1
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Anwendung: Sitzordnung, Reihenfolge
Variation mit Wiederholung (nᵏ)
k Plätze aus n Elementen besetzen, Wiederholung erlaubt.
Merke: Jeder Platz hat n Möglichkeiten: n · n · ... = nᵏ
4-stelliger PIN (0–9): 10⁴ = 10.000
3 aus {A, B, C} mit Wdh.: 3³ = 27
Anwendung: PIN, Passwort, Würfel
Variation ohne Wiederholung (n!/(n−k)!)
k Plätze aus n Elementen besetzen, ohne Wiederholung.
Merke: n · (n−1) · ... · (n−k+1)
2 aus 5 Farben: 5 · 4 = 20
3 aus 8 Läufern: 8 · 7 · 6 = 336
Anwendung: Platzierungen, geordnete Auswahl
Kombination (n über k)
k Objekte aus n wählen, Reihenfolge egal.
Merke: C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!)
C(6, 2) = 15
C(10, 4) = 210
Anwendung: Teams, Lotterie, Gruppen
Wissen testen
Kurze Quizfragen zu Permutation, Variation und Kombination.
Permutation
1/4
1.Was berechnet n! (n Fakultät)?
2.Wie viel ist 4! ?
3.Wann benutzt man eine Permutation?
Klasse 9–115–10 Minuten Einstiegmit Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Zählprobleme sinnvoll strukturieren
Aufgaben mit und ohne Reihenfolge unterscheiden
Baumdiagramme als Werkzeug gezielt einsetzen
Ergebnisse nachvollziehbar und vollständig darstellen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Für Klasse 9 bis 11 und für Lernende, die bei Zählaufgaben oft nicht wissen, ob doppelt gezählt wird oder etwas fehlt.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
In der Kombinatorik geht es weniger um Formeln als um die Frage: Welche Fälle gibt es, und wie zähle ich sie vollständig? Wer erst die Struktur einer Aufgabe versteht – mit oder ohne Reihenfolge, mit oder ohne Wiederholung – kommt viel sicherer zum richtigen Ergebnis. Baumdiagramme helfen dabei, nichts zu vergessen und nichts doppelt zu zählen.
Typische Fehler
Falsch einschätzen, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt
Ohne System drauflos zählen
Baumdiagramm unvollständig oder fehlerhaft zeichnen
So gehst du vor
- 1
Frage genau lesen und verstehen, was gezählt werden soll
- 2
Prüfen, ob die Reihenfolge wichtig ist
- 3
Eine passende Struktur wählen (Baumdiagramm, Tabelle …)
- 4
Alle Fälle systematisch durchzählen
- 5
Ergebnis auf Vollständigkeit prüfen
Für Lehrkräfte
Dieses Tool im Unterricht
Geeignet für
Klasse 8 bis 11
Dauer
15 bis 20 Minuten
Lernziel
Die Schülerinnen und Schüler unterscheiden Permutationen, Kombinationen und Variationen und wenden passende Zählstrategien an.
So im Unterricht einsetzen
Geeignet als Vertiefung in oberen Klassen, als strukturierte Problemlösephase oder zur Vorbereitung auf anspruchsvollere Wahrscheinlichkeitsaufgaben.
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Häufig gestellte Fragen
Doppelt gezählt oder etwas vergessen – wie zählt man richtig?
In der Nachhilfe sortieren wir das Chaos: welche Strategie passt wann, und wie zählt man systematisch, ohne etwas zu übersehen.