Nur auf einer Seite umformen
Algebra | Klasse 7–9
Lineare Gleichungen Schritt für Schritt lösen
Löse Gleichungen der Form ax + b = c mit klaren Umformungen und verstehe, warum auf beiden Seiten dasselbe passieren muss.
Waage-Modell
Umformungen
Schritt-für-Schritt
Quiz
2x + 4 = 10
Beispiele
Koeffizient von x
Konstante
Koeffizient von x
Konstante
Form: ax + b = cx + d
Visualisierung
Beide Seiten der Gleichung sind gleich schwer. Ziel: x allein auf einer Seite isolieren.
Linke Seite
2x+ 4
=
Rechte Seite
10
x-Terme (Variable)Positive ZahlenNegative Zahlen
Lösungsweg
Gegeben: 2x + 4 = 10Gesucht: x = ?
1
Ausgangsgleichung
2x + 4 = 10
2x + 4
▲
10
Wir wollen x allein auf eine Seite bringen.
− 4 auf beiden Seiten
2
Konstante isolieren
2x = 6
2x
▲
6
Wir ziehen auf beiden Seiten 4 ab.
: 2 auf beiden Seiten
3
Ergebnis
x = 3
x
▲
3
Wir teilen beide Seiten durch 2.
Lösung: x = 3
Erklärung
Die Gleichung hat die Form ax + b = c.
Das Ziel ist, x allein auf einer Seite zu isolieren.
Dazu muss man: Konstante isolieren, durch 2 teilen.
Die Lösung ist x = 3.
Probe
1
Einsetzen: x = 3
2
Linke Seite: 2 · 3 + 4 = 10
3
Rechte Seite: 10 = 10
4
Vergleich: 10 = 10 = Die Lösung stimmt!
10 = 10 — Die Lösung stimmt!
Merksätze
Äquivalenzumformung
Auf beiden Seiten dieselbe Operation ausführen, die Gleichung bleibt gültig.
Variable isolieren
Erst alle x-Terme auf eine Seite bringen, dann durch den Koeffizienten teilen.
Merksätze
=
Äquivalenzumformung
Was du auf einer Seite der Gleichung machst, musst du auf der anderen Seite auch machen. Die Gleichheit bleibt erhalten.
3x + 5 = 14 → beide Seiten −5 → 3x = 9.
x
Variable isolieren
Ziel: x allein auf einer Seite. Erst Summanden verschieben, dann durch den Koeffizienten teilen.
3x = 9 → x = 9 ÷ 3 = 3 — zuletzt teilen!
()
Klammern auflösen
Klammern vor dem Gleichungsumformen auflösen: Distributivgesetz anwenden. a·(b+c) = a·b + a·c.
2·(x + 3) = 2x + 6 — jeden Term in der Klammer multiplizieren.
∞
Besondere Fälle
Ergibt sich 0 = 0, gibt es unendlich viele Lösungen. Ergibt sich 0 = Zahl ≠ 0, gibt es keine Lösung.
2x − 2x = 0 → 0 = 0 → L = ℝ (alle reellen Zahlen).
Thema wählen
Schwierigkeit
7 Aufgaben verfügbar
Formeln & Regeln
Die wichtigsten Regeln zum Lösen linearer Gleichungen im Überblick.
Äquivalenzumformung
Auf beiden Seiten dasselbe tun
Merke: Was du links machst, machst du auch rechts — so bleibt die Gleichung gültig.
x + 5 = 12 → x + 5 - 5 = 12 - 5 → x = 7
3x = 15 → 3x / 3 = 15 / 3 → x = 5
Auflösen von Klammern
Distributivgesetz anwenden: a(b + c) = ab + ac
Merke: Jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor davor multiplizieren.
3(x - 2) = 3x - 6
-(x + 4) = -x - 4
2(3x + 1) = 6x + 2
Variable zusammenfassen
Alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere
Merke: Erst x-Terme sammeln, dann Konstanten isolieren, zuletzt durch den Koeffizienten teilen.
5x + 3 = 2x + 12 → 3x + 3 = 12 → 3x = 9 → x = 3
4x - 1 = x + 8 → 3x = 9 → x = 3
Probe
Lösung einsetzen und prüfen
Merke: Setze den Wert für x in die Ausgangsgleichung ein. Sind beide Seiten gleich, stimmt die Lösung.
x = 4 in 2x + 3 = 11: 2·4 + 3 = 11 ✓
x = 3 in 5x + 3 = 2x + 12: 18 = 18 ✓
Wissen testen
Kurze Quizfragen zu Äquivalenzumformung, Klammern und besonderen Fällen.
Grundregeln
1/3
1.Was ist eine Äquivalenzumformung?
2.Was ist das Ziel beim Lösen einer Gleichung?
3.Wie überprüft man die Lösung einer Gleichung?
Klasse 7–95–10 Minuten Einstiegmit Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Äquivalenzumformungen verstehen und anwenden
Gleichungen sauber nach x auflösen
Brüche und Klammern in Gleichungen sicher behandeln
Lösungen durch Einsetzen (Probe) prüfen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Für Klasse 7 bis 9 und für alle, die Gleichungen oft richtig rechnen, aber den Umformungsweg nicht sicher begründen können.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Eine Gleichung funktioniert wie eine Waage: Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen tun, damit das Gleichgewicht bleibt. Wer dieses Prinzip einmal verstanden hat, kann jede lineare Gleichung sicher lösen – egal ob mit Klammern, Brüchen oder negativen Zahlen. Das Tool zeigt jeden Umformungsschritt einzeln, damit klar wird, warum er funktioniert.
Typische Fehler
Vorzeichen beim Verschieben von Termen verlieren
x nicht vollständig isolieren
Die Probe am Ende vergessen
So gehst du vor
- 1
Gleichung genau lesen und überblicken
- 2
Gleiche Schritte auf beiden Seiten ausführen
- 3
Konstanten und Variablen voneinander trennen
- 4
x vollständig isolieren
- 5
Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung prüfen
Für Lehrkräfte
Dieses Tool im Unterricht
Geeignet für
Klasse 7 bis 9
Dauer
15 bis 20 Minuten
Lernziel
Die Schülerinnen und Schüler lösen lineare Gleichungen durch Äquivalenzumformungen sicher und überprüfen Ergebnisse mit einer Probe.
So im Unterricht einsetzen
Sehr gut einsetzbar nach der Einführung, als gelenkte Übung mit Waage-Modell oder zur Wiederholung vor Leistungsüberprüfungen.
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Häufig gestellte Fragen
Beim Umformen schleichen sich immer wieder Fehler ein?
In der Nachhilfe üben wir Gleichungen mit dem Waage-Prinzip – Schritt für Schritt, mit Probe, bis der Rechenweg wirklich sitzt.