Parabel mit einer Geraden verwechseln
Funktionen | Klasse 9–10
Quadratische Funktionen und Parabeln verstehen
Verändere a, b und c interaktiv und verstehe, wie sich Form, Lage und Scheitelpunkt einer Parabel verändern.
Parabel live
Parameter a, b, c
Scheitelpunkt
Quiz
y = x² - 2x - 3
y = (x - 1)² - 4
a darf nicht 0 sein, sonst wäre es keine quadratische Funktion.
Beispiele
Scheitelpunkty-AchsenabschnittSymmetrieachse
Schritt-für-Schritt-Erklärung
- 1
Funktion ablesen
Die Funktion lautet: y = x² - 2x - 3. Hier ist a = 1, b = -2 und c = -3.
- 2
Was macht a?
Der Wert a = 1 ist positiv, die Parabel ist nach oben geöffnet. Da |a| = 1 ist, hat die Parabel die gleiche Breite wie die Normalparabel.
- 3
Was macht b?
Der Wert b = -2 verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel nach rechts von der y-Achse weg. Zusammen mit a bestimmt b, wo der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt: bei x = 1.
- 4
Was macht c?
Der Wert c = -3 ist der y-Achsenabschnitt. Die Parabel schneidet die y-Achse bei y = -3. Ändert man nur c, verschiebt sich die Parabel nach oben oder unten.
- 5
Scheitelpunkt & Form
Der Scheitelpunkt liegt bei S(1 | -4). In Scheitelpunktform geschrieben: y = (x - 1)² - 4
Wertetabelle
| x | y = f(x) |
|---|---|
| -3 | 12 |
| -2 | 5 |
| -1 | 0 |
| 0 | -3 |
| 1 | -4 |
| 2 | -3 |
| 3 | 0 |
Merksätze
a
Streckfaktor a
|a| > 1: Parabel schmaler. |a| < 1: Parabel breiter. a > 0: Parabel öffnet nach oben. a < 0: Parabel öffnet nach unten.
Je größer |a|, desto schmaler und steiler die Parabel.
S
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der tiefste (a > 0) oder höchste (a < 0) Punkt der Parabel. In Scheitelpunktform: f(x) = a(x − d)² + e.
x-Koordinate des Scheitels: xs = −b / (2a).
x₀
Nullstellen
Nullstellen: f(x) = 0 lösen. Methoden: Ausklammern, quadratische Ergänzung, Lösungsformel x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a.
Diskriminante D = b²−4ac: D>0: 2 Nullstellen, D=0: 1, D<0: keine.
D
Diskriminante
D = b² − 4ac bestimmt die Anzahl der Nullstellen: D > 0 → zwei, D = 0 → eine (Berührpunkt), D < 0 → keine reellen Nullstellen.
Zuerst D berechnen, dann weißt du, was dich erwartet.
Thema wählen
Schwierigkeit
12 Aufgaben verfügbar
Formeln & Regeln
Die wichtigsten Regeln zu quadratischen Funktionen im Überblick.
Normalform
y = ax² + bx + c
Merke: a bestimmt Öffnung und Breite, b verschiebt, c ist der y-Achsenabschnitt
y = x² - 2x - 3 → a = 1, b = -2, c = -3
y = -2x² + 4x + 1 → a = -2, b = 4, c = 1
y = 0,5x² → a = 0,5, b = 0, c = 0
Scheitelpunktform
y = a(x - d)² + e
Merke: S(d | e) ist der Scheitelpunkt. d = -b/(2a), e = f(d)
y = (x - 3)² + 1 → S(3 | 1)
y = -2(x + 1)² + 4 → S(-1 | 4)
y = x² → S(0 | 0)
Öffnung & Streckung
a > 0 → nach oben, a < 0 → nach unten
Merke: |a| > 1 → schmaler, |a| < 1 → breiter, |a| = 1 → Normalparabel
a = 2 → nach oben, schmaler als Normalparabel
a = -0,5 → nach unten, breiter als Normalparabel
a = 1 → nach oben, gleich breit wie Normalparabel
Nullstellen berechnen
Setze y = 0 → pq-Formel oder Faktorisieren
Merke: pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q) für x² + px + q = 0
x² - 9 = 0 → x = ±3 (einfaches Umstellen)
x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0
x² + 2x - 8 = 0 → pq-Formel: x = -1 ± 3
Wissen testen
Kurze Quizfragen zu Parabel, Scheitelpunkt und Nullstellen.
Grundbegriffe
1/3
1.Wie lautet die Normalform einer quadratischen Funktion?
2.Wie lautet die Scheitelpunktform?
3.Was bestimmt der Wert a?
Klasse 9–105–10 Minuten Einstiegmit Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Parabeln grafisch lesen und interpretieren
Den Einfluss der Parameter a, b und c verstehen
Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung sicher deuten
Formel und Graph miteinander verbinden
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Vor allem für Klasse 9 bis 10 und für Lernende, die lineare und quadratische Funktionen noch nicht klar unterscheiden können.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Anders als bei linearen Funktionen entsteht bei quadratischen Funktionen keine Gerade, sondern eine Parabel. Der Parameter a bestimmt dabei, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und wie breit oder schmal sie verläuft. Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Kurve, wer ihn sicher bestimmen kann, hat den Kern des Themas verstanden. Dieses Tool macht den Zusammenhang zwischen Formel und Graph durch direktes Ausprobieren sichtbar.
Typische Fehler
Einfluss von a auf Öffnung und Streckung falsch deuten
Scheitelpunkt und y-Achsenabschnitt vermischen
Den Graphen nur auswendig skizzieren statt ihn zu verstehen
So gehst du vor
- 1
Form der Funktion anschauen: f(x) = ax² + bx + c
- 2
a auf Öffnungsrichtung und Breite beziehen
- 3
b und c für die Lageänderung beobachten
- 4
Scheitelpunkt bestimmen
- 5
Graph mit konkreten Beispielen vergleichen
Für Lehrkräfte
Dieses Tool im Unterricht
Geeignet für
Klasse 9 bis 11
Dauer
15 bis 20 Minuten
Lernziel
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen den Einfluss der Parameter auf die Parabel und verstehen Scheitelpunkt, Öffnung und Lage sicherer.
So im Unterricht einsetzen
Geeignet als Visualisierungshilfe im Unterricht, als explorative Partnerarbeit oder zur Wiederholung zentraler Funktionsmerkmale.
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Häufig gestellte Fragen
Scheitelpunkt, Nullstellen, Streckung, alles auf einmal?
schuNa erklärt Parabeln nicht nur am Bildschirm, in der Nachhilfe üben wir, bis Scheitelpunkt und Nullstellen kein Rätsel mehr sind.