Die falsche Seite als Hypotenuse wählen
Geometrie | Klasse 8–10
Satz des Pythagoras verstehen und anwenden
Berechne Hypotenuse und Katheten sicher und verstehe, warum a² + b² = c² im rechtwinkligen Dreieck gilt.
rechtwinkliges Dreieck
Hypotenuse und Katheten
Formel verstehen
Quiz
Was möchtest du berechnen?
Formel
c = √(a² + b²)
Beispielaufgaben:
Hypotenuse c: 5 cm
Visualisierung
Lösungsweg, Schritt für Schritt
1
Gegeben
a = 3 cm, b = 4 cm
Wir kennen die beiden Katheten, die Seiten, die den rechten Winkel einschließen.
2
Gesucht
c = ? (die Hypotenuse)
Wir suchen die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
3
Formel aufstellen
c² = a² + b²
Der Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ergibt das Hypotenusenquadrat.
4
Werte einsetzen & quadrieren
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
3² = 9 und 4² = 16. Addiert ergibt das 25.
5
Wurzel ziehen
c = √25 = 5 cm
Zum Schluss ziehen wir die Wurzel aus 25.
✓
Ergebnis
c = 5 cm
Die Hypotenuse ist 5 cm lang.
Erklärung
Du hattest die beiden Katheten gegeben: a = 3 cm und b = 4 cm.
Um die Hypotenuse zu finden, quadrierst du beide Katheten: 3² = 9 und 4² = 16.
Dann addierst du die Quadrate: 9 + 16 = 25.
Zum Schluss ziehst du die Wurzel: c = √25 = 5 cm.
Ergebnis
Aufgabe:Hypotenuse berechnen
Kathete a:3 cm
Kathete b:4 cm
Hypotenuse c:5 cm
Probe:9 + 16 = 25
Die Hypotenuse c ist 5 cm lang.
Merksätze
c
Hypotenuse
Die Hypotenuse c ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, immer gegenüber dem rechten Winkel (90°).
Die Hypotenuse ist immer die größte der drei Seiten.
²
Grundformel
a² + b² = c². In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
Merke: Die zwei kleinen Seiten quadriert = die große Seite quadriert.
√
Kathete berechnen
Wenn c und eine Kathete bekannt sind: a = √(c² − b²). Die Hypotenuse ist immer unter dem Wurzelzeichen allein.
c² − b² = a² → a = √(c² − b²).
✓
Rechtwinkligkeit prüfen
Gilt a² + b² = c², ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt es nicht, handelt es sich um ein anderes Dreieck.
Pythagoräische Tripel: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.
Thema wählen
Schwierigkeit
7 Aufgaben verfügbar
Formeln & Regeln
Die wichtigsten Formeln zum Satz des Pythagoras im Überblick.
Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
Merke: Die Summe der Kathetenquadrate ergibt das Hypotenusenquadrat
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²
Kathete berechnen
a = √(c² − b²) bzw. b = √(c² − a²)
Merke: Vom Hypotenusenquadrat das bekannte Kathetenquadrat abziehen, dann Wurzel ziehen
c = 13, a = 5 → b = √(169 − 25) = √144 = 12
c = 17, b = 8 → a = √(289 − 64) = √225 = 15
Rechtwinkligkeit prüfen
Gilt a² + b² = c²? → rechtwinklig
Merke: Die längste Seite ist c — prüfe, ob die Gleichung aufgeht
6² + 8² = 100 = 10² → rechtwinklig
5² + 7² = 74 ≠ 100 = 10² → nicht rechtwinklig
Pythagoräische Zahlentripel
Ganzzahlige Lösungen von a² + b² = c²
Merke: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 — und deren Vielfache
3-4-5: Das bekannteste Tripel
6-8-10: Verdoppeltes 3-4-5-Tripel
5-12-13 und 8-15-17: Weitere wichtige Tripel
Wissen testen
Kurze Quizfragen zu Pythagoras, Rechtwinkligkeit und pythagoräischen Tripeln.
Grundlagen
1/3
1.Wie lautet der Satz des Pythagoras?
2.Wann darf man den Satz des Pythagoras anwenden?
3.Was ist die Hypotenuse?
Klasse 8–105–10 Minuten Einstiegmit Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Die Hypotenuse in einem Dreieck richtig erkennen
Die Formel passend umstellen
Quadrate und Wurzeln sicher verwenden
Aufgaben mit einer Skizze lösen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Geeignet für Klasse 8 bis 10 und für alle, die bei Dreiecken oft nicht wissen, welche Seite die Hypotenuse ist.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die wichtigste Orientierung beim Satz des Pythagoras: c ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel, also die längste Seite im Dreieck. Genau diese Zuordnung fehlt vielen Lernenden. Wer einmal sicher weiß, welche Seite c ist, kann die Formel a² + b² = c² zuverlässig einsetzen und nach jeder gesuchten Seite umstellen. Dieses Tool hilft dabei, die Verbindung zwischen Skizze und Rechnung aufzubauen.
Typische Fehler
Quadrieren oder Wurzelziehen vergessen
Die Formel nicht richtig nach einer Kathete umstellen
Den Satz auf Dreiecke ohne rechten Winkel anwenden
So gehst du vor
- 1
Prüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist
- 2
Die Hypotenuse markieren (gegenüber dem rechten Winkel)
- 3
Bekannte Werte in die passende Formel einsetzen
- 4
Die quadratische Rechnung sauber durchführen
- 5
Ergebnis mit Länge und Einheit angeben
Für Lehrkräfte
Dieses Tool im Unterricht
Geeignet für
Klasse 8 bis 10
Dauer
15 bis 20 Minuten
Lernziel
Die Schülerinnen und Schüler wenden den Satz des Pythagoras sicher auf rechtwinklige Dreiecke an und unterscheiden Hypotenuse und Katheten korrekt.
So im Unterricht einsetzen
Sehr gut einsetzbar als Einführung mit Visualisierung, als Rechenübung oder zur Vorbereitung auf geometrische Sachaufgaben.
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Häufig gestellte Fragen
a² + b² = c², klingt einfach, aber welche Seite ist welche?
In der Nachhilfe üben wir Pythagoras an echten Aufgaben, mit Skizze, klarer Seitenzuordnung und sauberem Rechenweg.