Satz des Pythagoras
Hypotenuse und Katheten berechnen – Schritt für Schritt erklärt, mit Visualisierung und Quiz zum Üben.
Was möchtest du berechnen?
c = √(a² + b²)
Beispielaufgaben:
Visualisierung
Lösungsweg – Schritt für Schritt
Gegeben
a = 3 cm, b = 4 cm
Wir kennen die beiden Katheten – die Seiten, die den rechten Winkel einschließen.
Gesucht
c = ? (die Hypotenuse)
Wir suchen die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Formel aufstellen
c² = a² + b²
Der Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ergibt das Hypotenusenquadrat.
Werte einsetzen & quadrieren
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
3² = 9 und 4² = 16. Addiert ergibt das 25.
Wurzel ziehen
c = √25 = 5 cm
Zum Schluss ziehen wir die Wurzel aus 25.
Ergebnis
c = 5 cm
Die Hypotenuse ist 5 cm lang.
Erklärung
Du hattest die beiden Katheten gegeben: a = 3 cm und b = 4 cm.
Um die Hypotenuse zu finden, quadrierst du beide Katheten: 3² = 9 und 4² = 16.
Dann addierst du die Quadrate: 9 + 16 = 25.
Zum Schluss ziehst du die Wurzel: c = √25 = 5 cm.
Ergebnis
Die Hypotenuse c ist 5 cm lang.
Wichtige Begriffe
Katheten (a und b)
Die beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie schließen den rechten Winkel ein.
Merke: Katheten liegen direkt am rechten Winkel – wie die Wände einer Zimmerecke.
Hypotenuse (c)
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite – sie „spannt" sich über den rechten Winkel.
Rechtwinkliges Dreieck
Ein Dreieck mit genau einem 90°-Winkel. Erkennbar am kleinen Quadrat in der Ecke.
Nur bei rechtwinkligen Dreiecken darfst du den Satz des Pythagoras verwenden!
Der Satz des Pythagoras
a² + b² = c² – Die Summe der Kathetenquadrate ergibt das Hypotenusenquadrat.
Du kannst die Formel umstellen: c = √(a² + b²) oder a = √(c² − b²).
Wo begegnet dir der Satz des Pythagoras?
Leiter an der Wand
Eine Leiter lehnt an einer Wand. Die Leiter ist die Hypotenuse (c), die Wand und der Boden sind die Katheten (a und b). So berechnest du z. B., wie weit die Leiter unten von der Wand entfernt steht.
Diagonale eines Rechtecks
Die Diagonale eines Rechtecks teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten des Rechtecks sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.
Abstand zwischen zwei Punkten
Den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Karte berechnest du über ein rechtwinkliges Dreieck – der horizontale und der vertikale Abstand sind die Katheten.
Quiz – Teste dein Wissen
1.Ein rechtwinkliges Dreieck hat a = 3 cm und b = 4 cm. Wie lang ist c?
2.Ein rechtwinkliges Dreieck hat b = 8 cm und c = 17 cm. Wie lang ist a?
3.Eine Leiter ist 5 m lang und lehnt an einer Wand. Der Fuß der Leiter steht 3 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter? (in m)
4.Was gilt beim Satz des Pythagoras?
5.Wann darf man den Satz des Pythagoras anwenden?
6.Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 7 cm und 10 cm. Kann der Satz des Pythagoras angewendet werden?