Gegenkathete und Ankathete vertauschen
Geometrie | Klasse 9–10
Sinus, Kosinus und Tangens verstehen
Lerne Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck sicher zuzuordnen und trigonometrische Verhältnisse sinnvoll anzuwenden.
Sinus, Kosinus, Tangens
rechtwinkliges Dreieck
Seiten zuordnen
Quiz
Beispielaufgaben:
Was möchtest du berechnen?
Grundformeln
sin(α) = GK / Hypcos(α) = AK / Hyptan(α) = GK / AK
Gegeben: α = 30°, Hypotenuse = 10 cmGesucht: GegenkatheteFunktion: sin
Gegenkathete: 5 cm
Visualisierung
AnkatheteGegenkatheteHypotenuse
Lösungsweg, Schritt für Schritt
1
Gegeben
α = 30°, Hypotenuse = 10 cm
Wir kennen den Winkel α und die Hypotenuse.
2
Gesucht
Gegenkathete = ?
Wir suchen die Gegenkathete.
3
Zuordnung der Seiten
Bekannt: Hypotenuse → Gesucht: Gegenkathete → sin
Die Hypotenuse und die Gegenkathete sind durch den Sinus verbunden.
4
Formel
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
Die Grundformel des Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse.
5
Umstellen & Einsetzen
Gegenkathete = sin(α) · Hypotenuse
Wir stellen die Formel nach der gesuchten Seite um.
6
Berechnung
Gegenkathete = sin(30°) · 10 = 0,5 · 10 = 5
sin(30°) ≈ 0,5. Damit ergibt sich das Ergebnis.
✓
Ergebnis
Gegenkathete ≈ 5 cm
Die Gegenkathete ist etwa 5 cm lang.
Merksätze
sin
Sinus
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse. Der Sinus gibt das Verhältnis der dem Winkel gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse an.
SOH: Sinus = Opposite / Hypotenuse.
cos
Kosinus
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse. Der Kosinus gibt das Verhältnis der an den Winkel angrenzenden Kathete zur Hypotenuse an.
CAH: Cosinus = Adjacent / Hypotenuse.
tan
Tangens
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = sin(α) / cos(α). Der Tangens gibt das Verhältnis der beiden Katheten an.
TOA: Tangent = Opposite / Adjacent.
↩
Umkehrfunktionen
Um einen unbekannten Winkel zu berechnen, nutze arcsin, arccos oder arctan (Taste: sin⁻¹ etc. am Taschenrechner).
α = arcsin(GK/HYP) — Winkel aus Seitenverhältnis bestimmen.
Erklärung
Du hast den Sinus verwendet, um die gesuchte Seite zu berechnen.
Der Sinus verbindet den Winkel mit dem Verhältnis zweier bestimmter Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Durch Umstellen der Formel und Einsetzen der Werte ergibt sich das Ergebnis: Die Gegenkathete ist 5 cm lang.
Ergebnis
Modus:Seite berechnen
Funktion:Sinus (sin)
Die Gegenkathete ist 5 cm lang.
Thema wählen
Schwierigkeit
9 Aufgaben verfügbar
Formeln & Regeln
Die wichtigsten Formeln der Trigonometrie im Überblick.
Sinus (sin)
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
Merke: SOH — Sine = Opposite / Hypotenuse
sin(30°) = 0,5
sin(45°) ≈ 0,707
sin(60°) ≈ 0,866
Kosinus (cos)
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
Merke: CAH — Cosine = Adjacent / Hypotenuse
cos(60°) = 0,5
cos(45°) ≈ 0,707
cos(30°) ≈ 0,866
Tangens (tan)
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
Merke: TOA — Tangent = Opposite / Adjacent
tan(45°) = 1
tan(30°) ≈ 0,577
tan(60°) ≈ 1,732
SOH-CAH-TOA Merkhilfe
Die Eselsbrücke für alle drei Formeln
Merke: SOH-CAH-TOA: Sinus = O/H, Kosinus = A/H, Tangens = O/A
S = sin, O = Opposite (Gegenkathete), H = Hypotenuse
C = cos, A = Adjacent (Ankathete), H = Hypotenuse
T = tan, O = Opposite, A = Adjacent
Wissen testen
Kurze Quizfragen zu Sinus, Kosinus und Tangens.
Grundformeln
1/3
1.Wie lautet die Definition von sin(α)?
2.Wie lautet die Definition von cos(α)?
3.Wie lautet die Definition von tan(α)?
Klasse 9–105–10 Minuten Einstiegmit Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse sicher unterscheiden
Die passende trigonometrische Funktion wählen
Winkel oder Seitenlängen berechnen
Skizzen im Dreieck richtig lesen und nutzen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Geeignet für Klasse 9 bis 10 und für alle, die sich bei den Seitenbezeichnungen im Dreieck noch unsicher fühlen.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Trigonometrie beginnt mit einer einfachen Frage: Welche Seite ist welche? Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse hängen immer vom betrachteten Winkel ab, nicht vom Dreieck selbst. Erst wenn diese Zuordnung sitzt, ergeben Sinus, Kosinus und Tangens einen klaren Sinn. Dieses Tool hilft dir, die Seitennamen sicher zuzuordnen und die richtige Formel für jede Aufgabe zu finden.
Typische Fehler
Die falsche trigonometrische Funktion wählen
Den Taschenrechner-Modus nicht prüfen (Grad statt Bogenmaß)
Trigonometrie auf Dreiecke ohne rechten Winkel anwenden
So gehst du vor
- 1
Den gegebenen oder gesuchten Winkel markieren
- 2
Seiten relativ zu diesem Winkel benennen (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse)
- 3
Die passende trigonometrische Funktion auswählen
- 4
Bekannte Werte einsetzen und nach der gesuchten Größe umstellen
- 5
Das Ergebnis mit einer Skizze kontrollieren
Für Lehrkräfte
Dieses Tool im Unterricht
Geeignet für
Klasse 9 bis 11
Dauer
15 bis 20 Minuten
Lernziel
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck sicherer und wählen passende Verhältnisse gezielt aus.
So im Unterricht einsetzen
Geeignet für Erarbeitungs- und Übungsphasen, besonders zur Verbindung von Skizze, Formel und rechnerischem Vorgehen.
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Häufig gestellte Fragen
Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse, welche ist welche?
In der Nachhilfe arbeiten wir am rechtwinkligen Dreieck, bis Seitenbezeichnungen, Formeln und Rechenwege keine Verwechslungsgefahr mehr sind.