Trigonometrie
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verstehen – mit interaktiver Visualisierung, Schritt-für-Schritt-Erklärung und Quiz zum Üben.
Beispielaufgaben:
Was möchtest du berechnen?
Visualisierung
Lösungsweg – Schritt für Schritt
Gegeben
α = 30°, Hypotenuse = 10 cm
Wir kennen den Winkel α und die Hypotenuse.
Gesucht
Gegenkathete = ?
Wir suchen die Gegenkathete.
Zuordnung der Seiten
Bekannt: Hypotenuse → Gesucht: Gegenkathete → sin
Die Hypotenuse und die Gegenkathete sind durch den Sinus verbunden.
Formel
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
Die Grundformel des Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse.
Umstellen & Einsetzen
Gegenkathete = sin(α) · Hypotenuse
Wir stellen die Formel nach der gesuchten Seite um.
Berechnung
Gegenkathete = sin(30°) · 10 = 0,5 · 10 = 5
sin(30°) ≈ 0,5. Damit ergibt sich das Ergebnis.
Ergebnis
Gegenkathete ≈ 5 cm
Die Gegenkathete ist etwa 5 cm lang.
Wichtige Begriffe
Sinus (sin)
sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
Merke: sin verbindet den Winkel mit der gegenüberliegenden Seite und der längsten Seite.
Kosinus (cos)
cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
Merke: cos verbindet den Winkel mit der anliegenden Seite und der längsten Seite.
Tangens (tan)
tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
Merke: tan verbindet die beiden Katheten mit dem Winkel.
Seiten richtig zuordnen
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel (längste Seite). Gegenkathete liegt gegenüber vom betrachteten Winkel α. Ankathete liegt neben dem Winkel α.
Tipp: Zuerst die Hypotenuse finden, dann vom Winkel α aus die anderen Seiten bestimmen.
Wann welche Funktion?
Gegeben Hyp + gesucht Gegenk (oder umgekehrt) → sin. Gegeben Hyp + gesucht Ank (oder umgekehrt) → cos. Gegeben beide Katheten → tan.
Entscheide zuerst, welche Seiten beteiligt sind – daraus ergibt sich die Funktion automatisch.
Erklärung
Du hast den Sinus verwendet, um die gesuchte Seite zu berechnen.
Der Sinus verbindet den Winkel mit dem Verhältnis zweier bestimmter Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Durch Umstellen der Formel und Einsetzen der Werte ergibt sich das Ergebnis: Die Gegenkathete ist 5 cm lang.
Ergebnis
Die Gegenkathete ist 5 cm lang.
Quiz – Teste dein Wissen
1.sin(α) = ?
2.Die Hypotenuse ist...
3.sin(30°) · 10 = ?