Ungleichungen lösen – Schritt für Schritt
Wähle eine Ungleichung oder lass dir eine zufällige erzeugen. Sieh Schritt für Schritt, wie sie gelöst wird – mit Zahlenstrahl, Erklärungen und Übungen.
x + 3 < 8
Leicht ●
Mittel ●●
Schwer (Vorzeichenwechsel) ●●●
Schritt-für-Schritt-Lösung
Ausgangsungleichung
x + 3 < 8
Wir lesen: „x + 3 ist kleiner als 8." Ziel: x allein auf eine Seite bringen.
Auf beiden Seiten 3 subtrahieren
x < 5
Wir rechnen auf beiden Seiten - 3. Links fällt die Konstante weg, rechts: 8 - 3 = 5.
Ergebnis
x < 5
Die Lösung: x < 5. Alle Zahlen, die kleiner als 5 sind, erfüllen die Ungleichung.
Lösung auf dem Zahlenstrahl
x < 5 – Alle Zahlen kleiner als 5 sind Lösungen. Die Zahl 5 selbst gehört nicht dazu.
Gegenprobe
Wir setzen Werte in die Ausgangsungleichung x + 3 < 8 ein:
x = 4
Einsetzen: 7 < 8 – stimmt!
x = 6
Einsetzen: 9 ≠ 8 – stimmt nicht!
Gleichung vs. Ungleichung
Gleichung: x + 3 = 8
Lösung: x = 5 – genau eine Zahl.
Ungleichung: x + 3 < 8
Lösung: x < 5 – ein ganzer Zahlenbereich.
Merksätze
Gleichung vs. Ungleichung
Eine Gleichung (z. B. x + 3 = 8) hat meist genau eine Lösung. Eine Ungleichung (z. B. x + 3 < 8) hat einen ganzen Lösungsbereich – unendlich viele Zahlen können die Bedingung erfüllen.
Vorzeichenregel
Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden. Beispiel: Aus -2x > 6 wird x < -3. Das ist der häufigste Fehler bei Ungleichungen!
Offener vs. geschlossener Punkt
Bei < und > (strikt) zeichnet man einen offenen Kreis (○) – der Grenzwert gehört nicht zur Lösung. Bei ≤ und ≥ einen geschlossenen Kreis (●) – der Grenzwert ist Teil der Lösung.
Zahlenstrahl lesen
Die Lösung einer Ungleichung ist ein Bereich auf dem Zahlenstrahl. Der Pfeil zeigt die Richtung: nach links für „kleiner als", nach rechts für „größer als".
Typischer Fehler
Viele vergessen beim Dividieren durch eine negative Zahl, das Zeichen umzudrehen. Merkhilfe: „Minus macht den Pfeil anders rum!" Immer kurz prüfen: Ist der Faktor vor x negativ? Dann dreht sich das Zeichen.
Gegenprobe
Setze eine Zahl aus dem Lösungsbereich in die Ausgangsungleichung ein. Stimmt die Aussage? Dann ist die Lösung richtig. Setze auch eine Zahl von außerhalb ein – sie sollte die Ungleichung nicht erfüllen.
Quiz
Löse: x + 4 < 7
Löse x + 4 < 7. Was ist die Grenze für x?
Was bedeutet x < 3?