P(A|B) und P(B|A) verwechseln — das Bedingungs-Ereignis steht immer im Nenner
Stochastik | Klasse 9–10
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Lerne P(A|B) zu berechnen und zu interpretieren — von der Definition über das Baumdiagramm bis zu mehrstufigen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen.
P(A|B)
Baumdiagramm
Pfadregel
Urnenmodell
Satz von Bayes
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6 Aufgaben verfügbar
Merksätze
P(A|B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Formel: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Das „|" bedeutet „gegeben" — das Ereignis nach dem Strich ist die Bedingung (Nenner).
Pfad×
Pfadregel
Im Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad werden multipliziert. P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A). Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis werden addiert.
Merke: Ast → mal nehmen. Verschiedene Wege → addieren.
Urne
Mit vs. ohne Zurücklegen
Mit Zurücklegen: Züge sind unabhängig, Zusammensetzung bleibt gleich. Ohne Zurücklegen: Nach jeder Ziehung eine Kugel weniger — bedingte Wahrscheinlichkeiten ändern sich.
Ohne Zurücklegen: Nenner und ggf. Zähler um 1 verringern.
Bayes
Satz von Bayes
Mit Bayes rechnet man „rückwärts": Aus P(B|A) wird P(A|B). Wichtig bei Tests, Qualitätsprüfung oder Diagnosen. P(A|B) = P(A) · P(B|A) / P(B).
P(B) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen: alle Pfade zu B addieren.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B), Baumdiagramm und mehrstufige Zufallsexperimente verstehen und sicher anwenden.
Definition P(A|B)
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Merke: P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B bereits bekannt ist. Das "|" bedeutet "gegeben" — B steht immer im Nenner.
P(A ∩ B) = 0,2, P(B) = 0,5 → P(A|B) = 0,4
P(A ∩ B) = 0,12, P(B) = 0,4 → P(A|B) = 0,3
P(A|B) = P(A) ↔ A und B unabhängig
Pfadregel im Baumdiagramm
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Merke: Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad multiplizieren (Pfadregel). Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren (Summenregel).
P(A) = 0,4, P(B|A) = 0,7 → P(A ∩ B) = 0,28
P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)
Ast → multiplizieren, Pfade addieren
Mit vs. ohne Zurücklegen
Mit Zurücklegen: Züge unabhängig | Ohne: Zusammensetzung ändert sich
Merke: Ohne Zurücklegen: Nach jeder Ziehung hat die Urne eine Kugel weniger. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug hängen vom ersten ab.
4R + 6B, ohne Zurücklegen: P(R₂|R₁) = 3/9
4R + 6B, mit Zurücklegen: P(R₂|R₁) = 4/10
Ohne ZL: Nenner nimmt um 1 ab
Satz von Bayes
P(A|B) = P(A) · P(B|A) / P(B)
Merke: Mit Bayes kann man "rückwärts" rechnen: Aus P(B|A) wird P(A|B). Typisch bei medizinischen Tests oder Qualitätsprüfungen.
P(krank) = 0,01, P(+|krank) = 0,95
P(+|gesund) = 0,05 → P(+) = 0,059
P(krank|+) = 0,0095 / 0,059 ≈ 0,16
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Grundformel anwenden
1/2
1.Was ist P(A|B), wenn P(A ∩ B) = 0,3 und P(B) = 0,6?
2.Wie lautet die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit?
3.Wann sind A und B stochastisch unabhängig?
Klasse 9–1010–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Die Formel P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) verstehen und anwenden
Bedingte Wahrscheinlichkeiten aus einem Baumdiagramm ablesen
Die Pfadregel (Multiplikation entlang eines Pfades) sicher nutzen
Mehrstufige Zufallsexperimente mit und ohne Zurücklegen berechnen
Den Satz von Bayes für einfache Rückwärts-Aufgaben einsetzen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 9 und 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Probleme mit der Interpretation von P(A|B), der Pfadregel im Baumdiagramm oder dem Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen haben.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gibt an, wie wahrscheinlich Ereignis A ist, wenn man weiß, dass Ereignis B bereits eingetreten ist. Die Formel lautet: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Im Baumdiagramm entspricht das der Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ergibt sich durch Multiplizieren aller Äste auf diesem Weg. Für mehrstufige Experimente unterscheidet man zwischen Ziehen mit Zurücklegen (unabhängige Züge) und ohne Zurücklegen (abhängige Züge, Zusammensetzung ändert sich). Der Satz von Bayes ermöglicht es, aus P(B|A) auf P(A|B) zu schließen.
Typische Fehler
Bei „ohne Zurücklegen" vergessen, die Gesamtanzahl der Kugeln anzupassen
Pfade addieren statt multiplizieren (oder umgekehrt)
P(B) beim Satz von Bayes nicht mit der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen
Unabhängigkeit falsch annehmen und P(A ∩ B) = P(A) · P(B) verwenden, obwohl Abhängigkeit vorliegt
So gehst du vor
- 1
Ereignisse und gegebene Wahrscheinlichkeiten notieren
- 2
Baumdiagramm zeichnen (erste Stufe: A/Ā, zweite Stufe: B|A und B|Ā)
- 3
Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (Äste multiplizieren)
- 4
Gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit mit P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) berechnen
- 5
Ergebnis prüfen: Alle Pfadwahrscheinlichkeiten einer Stufe müssen sich zu 1 addieren
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Häufig gestellte Fragen
Bedingte Wahrscheinlichkeit noch nicht ganz klar?
In der Nachhilfe üben wir P(A|B), Baumdiagramme und den Satz von Bayes Schritt für Schritt — damit Stochastik-Aufgaben in der Klassenarbeit keine Überraschung mehr sind.