Gesamtzahl statt Randsumme als Nenner bei bedingter Wahrscheinlichkeit verwenden
Stochastik | Klasse 9–10
Vierfeldertafel üben
Lerne die Vierfeldertafel sicher aufzustellen, alle Häufigkeiten abzulesen und bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen — Schritt für Schritt mit sofortigem Feedback.
Tafel aufstellen
Randsummen
Relative Häufigkeit
P(B|A)
Unabhängigkeit
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Merksätze
A∩B
Vierfeldertafel aufstellen
Eine Vierfeldertafel zeigt, wie sich zwei Merkmale A und B auf eine Gruppe verteilen. Die vier Felder heißen n(A∩B), n(A∩B̄), n(Ā∩B), n(Ā∩B̄). Randsummen ergänzen: n(A), n(Ā), n(B), n(B̄) und Gesamtzahl n.
Probe: Alle vier Felder addieren muss die Gesamtzahl ergeben!
h = n/n
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit / Gesamtzahl. Aus der Vierfeldertafel lässt sich jede relative Häufigkeit direkt berechnen: h(A∩B) = n(A∩B) / n.
Randsummen zuerst bestimmen, dann dividieren. h(A) + h(Ā) = 1.
P(B|A)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B|A) = n(A∩B) / n(A). Der Nenner ist die Bedingung A — nicht die Gesamtzahl! "Unter der Bedingung A" bedeutet: Wir betrachten nur die Personen in Zeile A.
Merkhilfe: P(B|A) — der Strich trennt Ergebnis (B) und Bedingung (A). Nenner = Bedingung!
Unabh.
Unabhängigkeit
A und B sind unabhängig, wenn P(A|B) = P(A) gilt. Gleichwertig: P(A∩B) = P(A) · P(B). Wenn das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit von A nicht ändert, sind die Merkmale unabhängig.
Immer beide Werte ausrechnen und vergleichen: P(A) und P(A|B). Sind sie gleich? Dann unabhängig!
Vierfeldertafel
Häufigkeiten darstellen, ablesen und bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Aufbau der Vierfeldertafel
Zeilen: A / Ā | Spalten: B / B̄ | Randsummen ergänzen
Merke: Vier Felder: A∩B, A∩B̄, Ā∩B, Ā∩B̄. Randsummen: n(A), n(Ā), n(B), n(B̄), Gesamtzahl n.
n(A) = n(A∩B) + n(A∩B̄)
n(B) = n(A∩B) + n(Ā∩B)
n = n(A∩B) + n(A∩B̄) + n(Ā∩B) + n(Ā∩B̄)
Tafel lesen
Absolute Häufigkeit direkt ablesen | Relative Häufigkeit = Feld / n
Merke: Randsummen prüfen: Alle Zeilen- und Spaltensummen müssen zur Gesamtzahl passen.
h(A∩B) = n(A∩B) / n
h(A) = n(A) / n
Probe: n(A) + n(Ā) = n
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B|A) = n(A∩B) / n(A) | Nenner = Bedingung
Merke: Der senkrechte Strich | heißt 'unter der Bedingung'. Der Nenner ist immer die Bedingungsgröße — nicht die Gesamtzahl!
P(B|A) = n(A∩B) / n(A)
P(A|B) = n(A∩B) / n(B)
P(B|Ā) = n(Ā∩B) / n(Ā)
Unabhängigkeit prüfen
P(A|B) = P(A) ⟺ P(A∩B) = P(A) · P(B)
Merke: Wenn das Eintreten von B nichts an der Wahrscheinlichkeit von A ändert, sind A und B unabhängig. Beide Formeln sind gleichwertig.
P(A) = 0,5, P(A|B) = 0,5 → unabhängig
P(A) = 0,5, P(A|B) = 0,7 → abhängig
P(A∩B) = P(A) · P(B) → unabhängig
Wissen testen
Teste dein Wissen zur Vierfeldertafel und bedingten Wahrscheinlichkeit.
Tafel aufstellen und lesen
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1.Eine Vierfeldertafel hat n(A∩B) = 20, n(A∩B̄) = 10. Wie groß ist n(A)?
2.Was steht im Feld n(Ā∩B̄) der Vierfeldertafel?
3.n(A∩B) = 30, n(Ā∩B) = 20. Wie groß ist n(B)?
Klasse 9–1010–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Eine Vierfeldertafel aus gegebenen Häufigkeiten aufstellen und Randsummen ergänzen
Absolute und relative Häufigkeiten aus einer fertigen Tafel ablesen
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) = n(A∩B) / n(A) berechnen
Den Unterschied zwischen P(B|A) und P(A∩B) / n erklären
Unabhängigkeit zweier Merkmale mit P(A|B) = P(A) prüfen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 9 und 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Schwierigkeiten haben, die Vierfeldertafel aufzustellen, bedingte Wahrscheinlichkeiten korrekt zu berechnen oder die Unabhängigkeit zweier Merkmale zu prüfen.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die Vierfeldertafel ist ein zentrales Werkzeug der beschreibenden Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie zeigt, wie sich zwei Merkmale A und B auf eine Gesamtgruppe verteilen — in vier Feldern: n(A∩B), n(A∩B̄), n(Ā∩B) und n(Ā∩B̄). Aus den Feldern lassen sich Randsummen und relative Häufigkeiten direkt ablesen. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt: P(B|A) = n(A∩B) / n(A) — der Nenner ist immer die Bedingung, nicht die Gesamtzahl. Zwei Merkmale sind unabhängig, wenn P(A|B) = P(A) gilt, was gleichbedeutend ist mit P(A∩B) = P(A) · P(B).
Typische Fehler
Randsummen falsch berechnen — Zeilen und Spalten verwechseln
n(A∩B) und n(B) verwechseln bei P(A|B)
Vergessen, die Probe zu machen: n(A) + n(Ā) = n und n(B) + n(B̄) = n
Unabhängigkeit nur intuitiv beurteilen, ohne P(A|B) und P(A) zu vergleichen
So gehst du vor
- 1
Gegebene Häufigkeiten in die vier Felder eintragen
- 2
Randsummen n(A), n(Ā), n(B), n(B̄) durch Addition der Zeilen bzw. Spalten berechnen
- 3
Gesamtzahl n als Summe aller vier Felder bestimmen und Probe machen
- 4
Relative Häufigkeiten: Feld durch Gesamtzahl teilen
- 5
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(B|A) = n(A∩B) / n(A) — Nenner = Bedingung
- 6
Unabhängigkeit prüfen: P(A|B) mit P(A) vergleichen
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Häufig gestellte Fragen
Vierfeldertafel noch nicht ganz klar?
In der Nachhilfe üben wir die Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeiten gemeinsam — Schritt für Schritt, bis das Aufstellen und Auswerten zur Routine wird.