Kongruenz und Ähnlichkeit verwechseln (kongruent = gleich groß, ähnlich = gleiche Form)
Geometrie | Klasse 7–9
Ähnlichkeit und Kongruenz
Lerne kongruente und ähnliche Figuren sicher zu erkennen und zu berechnen — von den Kongruenzsätzen über den Ähnlichkeitsfaktor bis hin zu Maßstab und indirektem Messen.
Kongruenzsätze
Ähnlichkeitsfaktor k
Fehlende Seiten
Maßstab
Indirektes Messen
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Merksätze
SSS
Kongruenzsätze
Vier Kongruenzsätze bestimmen ein Dreieck eindeutig: SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel), WSW (zwei Winkel + eingeschlossene Seite), SSW (zwei Seiten + Winkel).
Merke: S = Seite, W = Winkel. Die Reihenfolge gibt an, welche Stücke bekannt sind.
k = a'/a
Ähnlichkeitsfaktor
Der Ähnlichkeitsfaktor k = a'/a gibt das Verhältnis entsprechender Seiten ähnlicher Figuren an. Alle Seiten werden mit demselben k skaliert.
k > 1: Vergrößerung. k < 1: Verkleinerung. k = 1: Kongruenz (gleich groß).
1:n
Maßstab
Der Maßstab 1:n bedeutet: 1 Einheit auf der Karte entspricht n Einheiten in der Wirklichkeit. Reale Länge = Kartenlänge · n.
Einheiten angleichen! 1 cm auf Karte mit Maßstab 1:50 000 = 50 000 cm = 500 m real.
h/s=h/s
Indirektes Messen
Gleichzeitige Schattenmessungen nutzen ähnliche Dreiecke. Die Verhältnisse von Höhe zu Schattenlänge sind bei beiden Objekten gleich.
Formel aufstellen: h_unbekannt / Schatten_unbekannt = h_bekannt / Schatten_bekannt.
Ähnlichkeit und Kongruenz
Kongruenzsätze, Ähnlichkeitsfaktor und Anwendungen sicher beherrschen.
Kongruenzsätze
SSS | SWS | WSW | SSW
Merke: S = Seite, W = Winkel. Jeder Satz gibt an, welche drei Stücke eines Dreiecks es eindeutig bestimmen.
SSS: drei Seiten gleich → kongruent
SWS: zwei Seiten + eingeschlossener Winkel
WSW: zwei Winkel + eingeschlossene Seite
Ähnlichkeitsfaktor k
k = a' / a | a' = k · a
Merke: k > 1 bedeutet Vergrößerung, k < 1 Verkleinerung, k = 1 Kongruenz. Alle Seiten werden mit demselben Faktor k skaliert.
a = 4 cm, a' = 8 cm → k = 2
k = 3, b = 5 cm → b' = 15 cm
k = 0,5 → alle Seiten halbiert
Maßstab (Karte / Modell)
Reale Länge = Kartenlänge · Maßstabszahl
Merke: Maßstab 1:50 000 → 1 cm auf der Karte = 50 000 cm = 500 m in der Wirklichkeit.
1:25 000: 2 cm → 50 000 cm = 500 m
1:100 000: 3 cm → 300 000 cm = 3 km
Modell 1:20: 10 cm → 200 cm = 2 m
Indirektes Messen (Schatten)
Höhe / Schatten = Höhe / Schatten
Merke: Gleichzeitige Schattenmessungen bilden ähnliche Dreiecke. Die Verhältnisse von Höhe zu Schattenlänge sind gleich.
Baum: h/6 m = 1,5 m/2 m → h = 4,5 m
Turm: h/15 m = 2 m/5 m → h = 6 m
Strahlensatz: a/b = c/d
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Kongruenz verstehen
1/2
1.Was bedeutet Kongruenz bei zwei Dreiecken?
2.Welcher Kongruenzsatz beschreibt: zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel?
3.Welcher Kongruenzsatz gilt für drei gleiche Seiten?
Klasse 7–910–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Die vier Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SSW) kennen und anwenden
Kongruente Figuren erkennen und ihre Eigenschaften benennen
Den Ähnlichkeitsfaktor k berechnen (k = a'/a)
Fehlende Seiten ähnlicher Figuren berechnen (a' = k · a)
Maßstab bei Karten und Modellen anwenden (Kartenlänge · Maßstabszahl = reale Länge)
Indirektes Messen mit Schattenmethode und Strahlensatz lösen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 7 bis 9 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Schwierigkeiten mit den Kongruenzsätzen haben, den Ähnlichkeitsfaktor nicht sicher berechnen können oder bei Maßstab- und Schattenaufgaben unsicher sind.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind — gleiche Form und gleiche Größe. Die vier Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SSW) geben an, welche drei Stücke eines Dreiecks es eindeutig bestimmen. Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe. Der Ähnlichkeitsfaktor k = a'/a gibt das Verhältnis entsprechender Seiten an. Mit k können alle anderen Seiten berechnet werden: a' = k · a. Anwendungen finden sich beim Maßstab (Karten, Modelle) und beim indirekten Messen mit Schatten oder Strahlensatz.
Typische Fehler
Kongruenzsatz SSW mit SWS verwechseln (die Position des Winkels ist entscheidend)
Beim Maßstab vergessen, die Einheiten umzurechnen (cm → m → km)
Ähnlichkeitsfaktor falsch herum berechnen (neue / alte statt alte / neue)
Bei Schattenaufgaben die Verhältnisse falsch aufstellen
So gehst du vor
- 1
Art der Aufgabe bestimmen: Kongruenz (gleich groß?) oder Ähnlichkeit (gleiche Form?)
- 2
Bei Kongruenz: Passenden Kongruenzsatz (SSS, SWS, WSW, SSW) identifizieren
- 3
Bei Ähnlichkeit: Ähnlichkeitsfaktor k = a'/a berechnen
- 4
Fehlende Seiten mit a' = k · a bestimmen
- 5
Bei Maßstab: Kartenlänge · Maßstabszahl = reale Länge (Einheiten angleichen!)
- 6
Bei Schattenaufgaben: Verhältnis Höhe / Schatten aufstellen und lösen
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Häufig gestellte Fragen
Ähnlichkeit und Kongruenz noch nicht ganz klar?
In der Nachhilfe üben wir Kongruenzsätze, Ähnlichkeitsfaktor und Maßstabsaufgaben Schritt für Schritt — damit diese Themen beim nächsten Test sitzen.