Den Binomialkoeffizienten C(n,k) vergessen oder falsch berechnen
Stochastik | Klasse 10
Binomialverteilung üben
Lerne die Binomialverteilung Schritt für Schritt: von den Grundbegriffen über die Binomialformel bis hin zu Erwartungswert und Standardabweichung.
B(n;p)
Binomialformel
P(X=k)
Erwartungswert
Standardabweichung
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Merksätze
B(n;p)
Binomialverteilung
X ~ B(n;p): n unabhängige Bernoulli-Versuche, jeder mit Trefferwahrscheinlichkeit p. X zählt die Gesamtanzahl der Treffer.
Voraussetzungen: unabhängige Versuche, konstantes p, genau zwei Ausgänge pro Versuch.
P(X=k)
Binomialformel
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)^(n−k). Der Binomialkoeffizient C(n,k) zählt alle Möglichkeiten, k Treffer aus n Versuchen auszuwählen.
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!). Beispiel: C(4,2) = 6.
E(X)
Erwartungswert
E(X) = n · p ist die mittlere Anzahl der Treffer. Bei 20 Versuchen mit p = 0,3 erwartet man E(X) = 6 Treffer.
Der Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein — er ist ein Durchschnittswert über viele Experimente.
σ
Standardabweichung
Var(X) = n·p·(1−p) und σ = √(n·p·(1−p)). Die Streuung ist maximal bei p = 0,5 und nimmt ab, je näher p an 0 oder 1 liegt.
Faustregel: Das Intervall [E(X) − 2σ; E(X) + 2σ] überdeckt etwa 95 % aller möglichen Werte.
Binomialverteilung
Formel, Erwartungswert und Standardabweichung verstehen und sicher anwenden.
Binomialformel
P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)^(n−k)
Merke: n = Anzahl der Versuche, k = Anzahl der Treffer, p = Trefferwahrscheinlichkeit. C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!).
X ~ B(3; 0,5): P(X=2) = C(3,2) · 0,5² · 0,5¹ = 3 · 0,25 · 0,5 = 0,375
X ~ B(4; 0,5): P(X=4) = 1 · 0,5⁴ = 0,0625
C(4,2) = 4! / (2! · 2!) = 6
Kumulative Wahrscheinlichkeit
P(X≤k) = P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k)
Merke: P(X≥k) = 1 − P(X≤k−1). Für kleine n alle Einzelwahrscheinlichkeiten aufaddieren.
P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + … + P(X=n)
P(X≥k) = 1 − P(X≤k−1) spart Rechenarbeit
Erwartungswert
E(X) = n · p
Merke: Der Erwartungswert gibt an, wie viele Treffer man im Durchschnitt erwartet. Bei 10 Würfen mit p = 0,4 erwartet man 4 Treffer.
B(10; 0,4): E(X) = 10 · 0,4 = 4
B(20; 0,5): E(X) = 20 · 0,5 = 10
B(12; 1/3): E(X) = 12 · (1/3) = 4
Standardabweichung
Var(X) = n·p·(1−p) | σ = √(n·p·(1−p))
Merke: Die Varianz misst die Streuung um den Erwartungswert. Je größer n oder je näher p an 0,5, desto größer die Streuung.
B(10; 0,4): Var = 10·0,4·0,6 = 2,4
σ = √2,4 ≈ 1,55
B(25; 0,4): σ = √(25·0,4·0,6) = √6 ≈ 2,45
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Grundbegriffe kennen
1/2
1.Welche Formel berechnet P(X = k) bei der Binomialverteilung?
2.Was ist C(5,2)?
3.X ~ B(8; 0,25). Wie groß ist E(X)?
Klasse 1010–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Die Notation B(n;p) verstehen und die Voraussetzungen eines Binomialexperiments nennen
Die Binomialformel P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k) anwenden
Kumulative Wahrscheinlichkeiten P(X≤k) und P(X≥k) berechnen
Den Erwartungswert E(X) = n·p berechnen und interpretieren
Varianz Var(X) = n·p·(1−p) und Standardabweichung σ bestimmen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Geeignet für Schülerinnen und Schüler der Klasse 10, die die Binomialverteilung in Stochastik behandeln. Besonders hilfreich, wenn die Binomialformel noch unsicher sitzt oder Erwartungswert und Standardabweichung verwechselt werden.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die Binomialverteilung beschreibt Zufallsexperimente, die aus n unabhängigen Bernoulli-Versuchen bestehen — jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ausgänge (Treffer oder Niete) mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnet man mit der Binomialformel: P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k). Der Binomialkoeffizient C(n,k) zählt dabei alle Möglichkeiten, k Treffer aus n Versuchen anzuordnen. Der Erwartungswert E(X) = n·p gibt die mittlere Trefferzahl an, die Varianz Var(X) = n·p·(1−p) beschreibt die Streuung.
Typische Fehler
(1−p)^(n−k) statt (1−p)^(n+k) schreiben (Vorzeichenfehler im Exponenten)
E(X) = n·p und Var(X) = n·p·(1−p) verwechseln
Vergessen, die Standardabweichung σ = √Var(X) aus der Varianz zu ziehen
Bei P(X≤k) nicht alle Einzelwahrscheinlichkeiten aufaddieren
So gehst du vor
- 1
Bernoulli-Experiment prüfen: n, p und k identifizieren
- 2
Binomialkoeffizient C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!) berechnen
- 3
pᵏ und (1−p)^(n−k) getrennt berechnen
- 4
Alle drei Faktoren multiplizieren: P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)^(n−k)
- 5
Für E(X) und σ: E = n·p und σ = √(n·p·(1−p)) einsetzen
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Häufig gestellte Fragen
Binomialverteilung noch nicht ganz klar?
In der Nachhilfe erklären wir die Binomialverteilung Schritt für Schritt — von der Formel bis zu Erwartungswert und Standardabweichung. So werden Stochastik-Aufgaben zur Routine.