Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen — z. B. ((2x)³)′ ≠ 3(2x)², sondern 3(2x)²·2
Algebra | Klasse 11–12
Differentialrechnung üben
Lerne Ableitungsregeln Schritt für Schritt — von der Potenzregel über Ketten- und Produktregel bis zur interaktiven Tangentenexploration mit SVG-Visualisierung.
Potenzregel
Kettenregel
Produktregel
Tangentensteigung
Ableitung f′(x)
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Ableitung und Tangente interaktiv erkunden
Potenzregel
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
Tangentensteigung bei x₀ = 0
f′(0) = 0
Waagerechte Tangente — mögliche Extremstelle
−30+3
Ableitungsformel
f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
Ableitungsregeln
xⁿ
Potenzregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Der Exponent wird zum Vorfaktor und um 1 verringert. Mit Konstante: (a·xⁿ)′ = a·n·xⁿ⁻¹.
Summenregel: Jedes Polynom Term für Term ableiten.
c·f
Faktorregel & Summenregel
(c·f)′ = c·f′ und (f+g)′ = f′+g′. Konstante Faktoren bleiben, Summen werden gliedweise abgeleitet.
Konstanten (ohne x) verschwinden beim Ableiten: (7)′ = 0.
∘
Kettenregel
(g(h(x)))′ = g′(h(x)) · h′(x). Erst die äußere Funktion ableiten (innere stehen lassen), dann mit der Ableitung der inneren multiplizieren.
Merke: äußere ableiten × innere ableiten. Beispiel: (sin(x²))′ = cos(x²) · 2x.
u·v
Produktregel
(u·v)′ = u′·v + u·v′. Erste ableiten mal Zweite, plus Erste mal Zweite ableiten.
Vorsicht: (u·v)′ ≠ u′·v′ — das ist ein häufiger Fehler!
(u/v)′ = (u′v−uv′)/v²
Quotientenregel
Die Ableitung eines Quotienten (u/v): Zähler = Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten. Nenner = untere Funktion im Quadrat.
Merke: Zähler hat ein MINUS (nicht Plus wie bei der Produktregel). Nenner: v² (immer quadrieren). Beispiel: (x/eˣ)′ = (eˣ − x·eˣ)/e²ˣ = (1−x)/eˣ.
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
e-Funktion und Logarithmus
Die Exponentialfunktion eˣ ist ihre eigene Ableitung. Der natürliche Logarithmus ln(x) hat die Ableitung 1/x.
Mit Kettenregel: (e^(g(x)))′ = g′(x)·e^(g(x)) und (ln(g(x)))′ = g′(x)/g(x). Beispiel: (e^(2x))′ = 2·e^(2x).
Ableitungsregel wählen
Schwierigkeit
12 Aufgaben verfügbar
Differentialrechnung
Potenzregel, Kettenregel und Produktregel verstehen und sicher anwenden.
Potenzregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Merke: Der Exponent n wird zum Vorfaktor, der Exponent wird um 1 verringert. Gilt auch mit Konstante: (a·xⁿ)′ = a·n·xⁿ⁻¹.
(x³)′ = 3x²
(5x²)′ = 10x
(x^(1/2))′ = (1/2)·x^(−1/2) = 1/(2√x)
Summen- und Faktorregel
(f+g)′ = f′+g′ und (c·f)′ = c·f′
Merke: Jede Summe wird Term für Term abgeleitet. Konstante Faktoren bleiben erhalten. So lässt sich jedes Polynom schnell ableiten.
(x³ − 3x²)′ = 3x² − 6x
(2x⁴ + x)′ = 8x³ + 1
(7)′ = 0 (Konstante fällt weg)
Kettenregel
(g(h(x)))′ = g′(h(x)) · h′(x)
Merke: Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Zuerst die äußere Funktion ableiten (innere unverändert lassen), dann mal die Ableitung der inneren Funktion.
((x+1)²)′ = 2(x+1) · 1 = 2(x+1)
((2x)³)′ = 3(2x)² · 2 = 24x²
(√(x²+4))′ = x/√(x²+4)
Produktregel
(u·v)′ = u′·v + u·v′
Merke: Erste ableiten mal Zweite plus Erste mal Zweite ableiten. Immer beide Terme beachten — bei Produkten darf man nicht einfach beide Ableitungen multiplizieren.
(x·(x+2))′ = 1·(x+2) + x·1 = 2x+2
(x²·(x−1))′ = 2x(x−1) + x² = 3x²−2x
((x+1)(x²−1))′ = (x²−1) + 2x(x+1) = 3x²+2x−1
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Potenzregel
1/3
1.Wie lautet die Potenzregel für f(x) = xⁿ?
2.Was ist die Ableitung von f(x) = x⁴?
3.Wie leitet man eine Summe ab?
Klasse 11–1210–15 Minutenmit SVG-Visualisierung, Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Die Potenzregel (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ sicher anwenden — auch mit Vorfaktoren und gebrochenen Exponenten
Summen- und Faktorregel nutzen: Polynome Term für Term ableiten
Die Kettenregel auf zusammengesetzte Funktionen anwenden: äußere mal innere Ableitung
Die Produktregel (u·v)′ = u′·v + u·v′ bei Produkten zweier Funktionen einsetzen
Die Tangentensteigung f′(x₀) geometrisch interpretieren und berechnen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klasse 11 und 12, die die Ableitungsregeln der Differentialrechnung üben möchten — ob zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten oder zum Verständnis der Analysis.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Ableitung von Funktionen. Die Ableitung f′(x) gibt die momentane Änderungsrate und die Steigung der Tangente an einer Stelle x an. Die Potenzregel (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ist die Grundlage für alle Polynome. Die Kettenregel wird benötigt, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist: (g(h(x)))′ = g′(h(x)) · h′(x). Die Produktregel gilt bei Produkten zweier Funktionen: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Zusammen ermöglichen diese Regeln das Ableiten fast aller in der Schule vorkommenden Funktionen.
Typische Fehler
Produktregel falsch anwenden: (u·v)′ ≠ u′·v′ — beide Terme müssen auftauchen
Konstanten nicht wegstreichen: (7)′ = 0, nicht 7
Bei der Potenzregel den Exponenten falsch verringern: (x³)′ = 3x², nicht 3x³
Vorzeichen übersehen: (−x²)′ = −2x, nicht 2x
So gehst du vor
- 1
Welche Ableitungsregel passt? Potenzregel für einzelne Potenzen, Kettenregel bei verschachtelten Funktionen, Produktregel bei Produkten.
- 2
Potenzregel anwenden: Exponent wird Faktor, Exponent wird um 1 verringert.
- 3
Kettenregel: Äußere Funktion ableiten (innere stehen lassen), dann mal die Ableitung der inneren Funktion.
- 4
Produktregel: u′·v + u·v′ — beide Summanden ausrechnen und addieren.
- 5
Ergebnis vereinfachen und Probe durch Einsetzen eines konkreten x-Werts.
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Häufig gestellte Fragen
Differentialrechnung noch nicht sicher?
In der Nachhilfe erklären wir Ableitungsregeln Schritt für Schritt — von der Potenzregel bis zu Ketten- und Produktregel, mit vielen Beispielen und individueller Begleitung.