Faktor a und Basis b verwechseln
Algebra & Funktionen | Klasse 9–10
Exponentialfunktionen verstehen und sicher üben
Erkunde Wachstum und Zerfall mit dem interaktiven SVG-Explorer. Verstehe, wie Basis b und Faktor a die Kurve f(x) = a · bˣ verändern — und übe gezielte Aufgaben zu Wachstum, Zerfall und Basis-Vergleich.
SVG-Explorer
Wachstum
Zerfall
Basis-Vergleich
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Exponentialfunktionen interaktiv erkunden
Exponentielles Wachstum
f(x) = 1 · 2ˣ
Live-Werte
f(0) = a = 1.00
f(1) = a · b = 2.00
f(−1) = a / b = 0.50
0,1b = 14
0,1a (Startpunkt)5
Merksätze
bˣ
Grundform
f(x) = a · bˣ mit a > 0, b > 0, b ≠ 1. Der Faktor a ist der Startwert (y-Achsenabschnitt), b ist die Basis.
f(0) = a · b⁰ = a · 1 = a. Der Startwert ist immer a!
↑b>1
Wachstum
b > 1: Die Funktion wächst exponentiell. Je größer b, desto steiler steigt die Kurve nach rechts.
b = 2 = Verdopplung, b = 3 = Verdreifachung pro Schritt. Für x → −∞ gilt f(x) → 0.
↓b<1
Zerfall
0 < b < 1: Die Funktion zerfällt (nimmt ab). Die Kurve fällt nach rechts und nähert sich der x-Achse an.
b = 0,5 bedeutet Halbierung pro Schritt. Für x → +∞ gilt f(x) → 0.
≈0
Asymptote
Die x-Achse (y = 0) ist die waagerechte Asymptote. Der Wertebereich ist immer y > 0.
Die Kurve berührt die x-Achse nie, kommt ihr aber beliebig nahe.
Thema wählen
Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Exponentialfunktionen
Wachstum, Zerfall und Basis-Vergleich bei Exponentialfunktionen sicher anwenden.
Exponentialfunktion — Grundform
f(x) = a · bˣ (a > 0, b > 0, b ≠ 1)
Merke: a ist der Startwert (y-Achsenabschnitt), b ist die Basis (Wachstums- oder Zerfallsfaktor).
f(x) = 2ˣ → a = 1, b = 2 (Wachstum)
f(x) = 3 · (0,5)ˣ → a = 3, b = 0,5 (Zerfall)
f(0) = a · b⁰ = a · 1 = a
Wachstum und Zerfall
b > 1: Wachstum | 0 < b < 1: Zerfall | b = 1: Gerade
Merke: Je größer b (Wachstum), desto steiler steigt die Kurve. Je kleiner b (Zerfall), desto schneller fällt sie.
b = 2: Verdopplung pro Schritt
b = 0,5: Halbierung pro Schritt
b = 1: keine Änderung (waagerecht)
Asymptote und Wertebereich
Waagerechte Asymptote: y = 0 (die x-Achse)
Merke: Die Kurve nähert sich der x-Achse an, erreicht sie aber nie. Der Wertebereich ist immer y > 0.
Wachstum: für x → −∞ gilt f(x) → 0
Zerfall: für x → +∞ gilt f(x) → 0
f(x) > 0 für alle x ∈ ℝ
Anwendungen (Sachkontexte)
Wachstumsfaktor b = 1 + p/100 | Zerfallsfaktor b = 1 − p/100
Merke: Prozentuales Wachstum um p %: b = 1,0p. Abnahme um p %: b = 0,(100−p). Startwert ist immer a.
+10 % pro Jahr → b = 1,1
−20 % pro Jahr → b = 0,8
1000 € × 1,1² = 1210 € nach 2 Jahren
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Grundlagen Exponentialfunktionen
1/2
1.Was bedeutet b > 1 bei f(x) = a · bˣ?
2.Was ist der y-Achsenabschnitt von f(x) = a · bˣ?
3.Welche Gerade ist die Asymptote von f(x) = 3 · 2ˣ?
Klasse 9–105–15 Minutenmit Explorer und Übungen
Was du hier lernst
Die Grundform f(x) = a · bˣ kennen und anwenden
Wachstums- und Zerfallsfunktionen anhand der Basis b unterscheiden
Den y-Achsenabschnitt (Startwert a) bestimmen
Funktionswerte für gegebene x-Werte berechnen
Exponentialfunktionen in Sachkontexten (Zinsen, Radioaktivität) aufstellen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 9 und 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Wachstum und Zerfall nicht sicher unterscheiden, den y-Achsenabschnitt nicht mit dem Faktor a verbinden oder Schwierigkeiten mit negativen Exponenten und Sachaufgaben haben.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = a · bˣ. Der Faktor a gibt den Startwert bei x = 0 an (denn b⁰ = 1). Die Basis b bestimmt das Verhalten: b > 1 → Wachstum (Kurve steigt), 0 < b < 1 → Zerfall (Kurve fällt). Die x-Achse ist immer eine waagerechte Asymptote, d. h. f(x) > 0 für alle x ∈ ℝ.
Typische Fehler
Den y-Achsenabschnitt falsch ablesen (nicht a, sondern b einsetzen)
b = 1 als Exponentialfunktion behandeln (ist eine Konstante)
Negative Exponenten falsch berechnen (2⁻² = 0,25, nicht −4)
Wachstumsfaktor und Wachstumsrate verwechseln (10 % → b = 1,1, nicht b = 0,1)
So gehst du vor
- 1
Grundform f(x) = a · bˣ identifizieren (a = Startwert, b = Basis)
- 2
Basis b prüfen: b > 1 → Wachstum, 0 < b < 1 → Zerfall
- 3
y-Achsenabschnitt berechnen: f(0) = a · b⁰ = a
- 4
Funktionswert einsetzen: x-Wert in Formel einsetzen, bˣ berechnen, mit a multiplizieren
- 5
Bei Sachaufgaben: Wachstumsfaktor b = 1 + p/100 oder b = 1 − p/100 bestimmen
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Häufig gestellte Fragen
Exponentialfunktionen noch nicht ganz sicher?
In der Nachhilfe üben wir Wachstum, Zerfall und Sachaufgaben zu Exponentialfunktionen mit echten Aufgaben — Schritt für Schritt, bis der Rechenweg sitzt.