Vorzeichen bei p verwechseln: (x + 3) entspricht p = −3, nicht p = 3
Algebra & Funktionen | Klasse 9–10
Extrempunkte und Scheitelform
Lerne Hoch- und Tiefpunkte von Parabeln zu bestimmen — von der Scheitelform über die quadratische Ergänzung bis zur interaktiven SVG-Erkundung.
Scheitelform
Hochpunkt
Tiefpunkt
Quadratische Ergänzung
f(x) = a·(x−p)²+q
PDF herunterladen:
Parabel interaktiv erkunden
Tiefpunkt — S(0|0)
f(x) = ·(x )² + 0
Parabel nach oben geöffnet → Tiefpunkt
Scheitelform
f(x) = a·(x − p)² + q
Scheitel bei S(p|q)
−30+3
−40+4
Merksätze
S(p|q)
Scheitelform
f(x) = a·(x − p)² + q. Der Scheitelpunkt liegt bei S(p|q). Vorzeichen beachten: (x + 3) bedeutet p = −3!
Den Scheitel direkt ablesen: p steht beim x, q ist der Summand.
H
Hochpunkt
a < 0 → Parabel öffnet nach unten → Scheitelpunkt ist der höchste Punkt (Hochpunkt). Bezeichnung: H(p|q).
Erinnerungshilfe: Negatives a = "nach unten hängend" = Hochpunkt.
T
Tiefpunkt
a > 0 → Parabel öffnet nach oben → Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt (Tiefpunkt). Bezeichnung: T(p|q).
Erinnerungshilfe: Positives a = "nach oben geöffnet" = Tiefpunkt.
q. E.
Normalform → Scheitelform
Quadratische Ergänzung: Bei x² + bx + c ergänze (b/2)² und subtrahiere es wieder. Ergebnis: (x + b/2)² + c − (b/2)².
Bei ax² zuerst a ausklammern, dann erst die quadratische Ergänzung durchführen.
Thema wählen
Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Extrempunkte und Scheitelform
Scheitelform, Hoch- und Tiefpunkt sowie quadratische Ergänzung verstehen und anwenden.
Scheitelform
f(x) = a·(x − p)² + q
Merke: Der Scheitelpunkt liegt direkt bei S(p|q). Vorzeichen beachten: (x + 3) bedeutet p = −3!
f(x) = (x − 2)² + 1 → S(2|1)
f(x) = 2·(x + 3)² − 4 → S(−3|−4)
f(x) = −(x − 1)² + 5 → S(1|5)
Hochpunkt
a < 0 → Parabel nach unten → Hochpunkt
Merke: Ist der Streckfaktor a negativ, öffnet die Parabel nach unten. Der Scheitelpunkt ist dann der höchste Punkt — ein Hochpunkt.
f(x) = −(x − 3)² + 4 → H(3|4)
f(x) = −2·(x + 1)² + 5 → H(−1|5)
a = −0,5 < 0 → immer Hochpunkt
Tiefpunkt
a > 0 → Parabel nach oben → Tiefpunkt
Merke: Ist der Streckfaktor a positiv, öffnet die Parabel nach oben. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt — ein Tiefpunkt.
f(x) = (x − 2)² + 1 → T(2|1)
f(x) = 3·(x + 2)² − 3 → T(−2|−3)
a = 1 > 0 → immer Tiefpunkt
Normalform → Scheitelform
Quadratische Ergänzung: (b/2)² ergänzen und subtrahieren
Merke: Bei ax² + bx + c: a ausklammern, (b/(2a))² ergänzen, zusammenfassen. Das ergibt direkt die Scheitelform.
x² − 6x + 7 = (x − 3)² − 2
x² + 4x − 1 = (x + 2)² − 5
2x² − 8x + 3 = 2(x − 2)² − 5
Wissen testen
Teste dein Wissen zu Extrempunkten und der Scheitelform von Parabeln.
Scheitelform & Scheitelpunkt
1/2
1.Wie lautet die allgemeine Scheitelform einer Parabel?
2.Wo liegt der Scheitelpunkt von f(x) = (x − 5)² + 3?
3.Was bedeutet q in der Scheitelform f(x) = a·(x − p)² + q?
Klasse 9–1010–15 Minutenmit SVG-Visualisierung, Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Die Scheitelform f(x) = a·(x − p)² + q direkt ablesen und den Scheitelpunkt S(p|q) bestimmen
Hoch- und Tiefpunkte anhand des Vorzeichens von a erkennen
Eine Parabel in Normalform durch quadratische Ergänzung in Scheitelform umformen
Die Scheitelform in Normalform zurückrechnen (ausmultiplizieren)
Den Scheitelpunkt grafisch ablesen und mit der Formel überprüfen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klasse 9 und 10, die Schwierigkeiten haben, Hoch- und Tiefpunkte von Parabeln zu bestimmen oder die quadratische Ergänzung noch nicht sicher anwenden können.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Der Extrempunkt einer Parabel ist ihr höchster (Hochpunkt) oder tiefster (Tiefpunkt) Punkt — der sogenannte Scheitelpunkt. Die Scheitelform f(x) = a·(x − p)² + q macht den Scheitelpunkt direkt ablesbar: S(p|q). Das Vorzeichen des Streckfaktors a entscheidet über die Art des Extrempunkts: Ist a > 0, öffnet die Parabel nach oben und der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt. Ist a < 0, öffnet sie nach unten und der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt. Liegt die Funktion als Normalform ax² + bx + c vor, führt man die quadratische Ergänzung durch, um die Scheitelform zu erhalten.
Typische Fehler
Hoch- und Tiefpunkt vertauschen: a < 0 → Hochpunkt, a > 0 → Tiefpunkt
Bei der quadratischen Ergänzung vergessen, den Ergänzungsterm wieder zu subtrahieren
Beim Ausklammern von a den Faktor vergessen (z. B. 2(x − 2)² ≠ 2x² − 4x + 4)
Den Scheitel mit dem Schnittpunkt mit der x-Achse verwechseln
So gehst du vor
- 1
Liegt die Funktion bereits in Scheitelform vor? Scheitelpunkt S(p|q) direkt ablesen.
- 2
Wenn nicht: quadratische Ergänzung durchführen — (b/2)² ergänzen und sofort subtrahieren.
- 3
Bei a ≠ 1: a zuerst ausklammern, dann erst die Ergänzung vornehmen.
- 4
Vorzeichen von a prüfen: a > 0 → Tiefpunkt, a < 0 → Hochpunkt.
- 5
Ergebnis als S(p|q) notieren und Probe: f(p) = q einsetzen.
Ähnliche Tools
Mathe
Quadratische Funktionen
Scheitelpunkt, Nullstellen und Öffnung von Parabeln interaktiv erkunden, mit Graphen und Quiz.
Interaktiv üben
Mathe
Nullstellen berechnen
Nullstellen von linearen, quadratischen und faktorisierten Funktionen berechnen — mit p-q-Formel, Faktorisierung und Quiz.
Interaktiv üben
Mathe
Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen in Normalform lösen, die pq-Formel anwenden und faktorisieren — für Klasse 9–10.
Interaktiv üben
Häufig gestellte Fragen
Scheitelform und Extrempunkte noch nicht sicher?
In der Nachhilfe erklären wir quadratische Funktionen Schritt für Schritt — von der Scheitelform über die quadratische Ergänzung bis zur sicheren Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten.