Vorzeichen beim Einsetzen in die p-q-Formel vertauschen
Funktionen | Klasse 9–10
Nullstellen berechnen
Lerne, Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen systematisch zu bestimmen — mit der p-q-Formel, durch Faktorisierung und durch Ablesen aus der Linearfaktorform.
Lineare Funktionen
p-q-Formel
Faktorisierung
Linearfaktoren
Diskriminante
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6 Aufgaben verfügbar
Merksätze
mx+b=0
Lineare Nullstelle
Bei f(x) = mx + b setzt man f(x) = 0 und löst nach x auf: x = −b/m. Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse.
Vorzeichen beachten: −b/m kann positiv oder negativ sein, je nach Vorzeichen von b und m.
p-q
p-q-Formel
Für x² + px + q = 0 gilt: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Zuerst Diskriminante prüfen: D = (p/2)² − q.
D > 0: zwei Nullstellen | D = 0: eine Doppelnullstelle | D < 0: keine reellen Nullstellen.
(x−a)(x−b)
Faktorisierte Form
Liegt f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) vor, liest man die Nullstellen x₁ und x₂ direkt ab. Jeden Faktor gleich null setzen.
Der Vorfaktor a ist für die Nullstellen irrelevant — er verschiebt nur den y-Wert, nicht die x-Werte.
a·b=q
Faktorisierung
Um x² + px + q zu faktorisieren, sucht man zwei Zahlen a, b mit a · b = q und a + b = −p. Dann gilt: (x − a)(x − b).
Systematisch probieren: Liste Teilerpaare von q auf und prüfe, welches die Summe −p ergibt.
Nullstellen berechnen
Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen sicher bestimmen — von der Formel bis zur Faktorisierung.
Lineare Funktion
f(x) = mx + b = 0 → x = −b/m
Merke: Nullstelle = x-Achsenabschnitt. Einfach f(x) = 0 setzen und nach x umformen.
f(x) = 2x − 6 → 2x = 6 → x = 3
f(x) = −3x + 9 → −3x = −9 → x = 3
f(x) = 5x + 15 → x = −3
Quadratische Funktion (p-q-Formel)
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Merke: Diskriminante D = (p/2)² − q prüfen: D > 0 → 2 NS | D = 0 → 1 NS | D < 0 → keine NS
x² − 4x + 3 = 0 → x = 2 ± 1 → x₁ = 1, x₂ = 3
x² − 9 = 0 → x = ±3
x² + 4x + 4 = 0 → x = −2 (Doppelnullstelle)
Faktorisierte Form
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) → Nullstellen: x₁ und x₂
Merke: Jeden Faktor gleich null setzen. Der Vorfaktor a ist nie null und kann ignoriert werden.
(x − 3)(x + 5) = 0 → x = 3 oder x = −5
2(x − 4)(x + 1) = 0 → x = 4 oder x = −1
x(x − 7) = 0 → x = 0 oder x = 7
Faktorisierung durch Zerlegung
x² + px + q = (x − a)(x − b): a · b = q und a + b = −p
Merke: Suche zwei Zahlen, deren Produkt q und deren Summe −p ergibt. Dann direkt Nullstellen ablesen.
x² − x − 6: a · b = −6, a + b = 1 → (x − 3)(x + 2)
x² − 5x + 6: a · b = 6, a + b = −5 → (x − 2)(x − 3)
x² + 2x − 8: a · b = −8, a + b = 2 → (x + 4)(x − 2)
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Nullstellen linearer Funktionen
1/2
1.Wie findet man die Nullstelle einer linearen Funktion f(x) = mx + b?
2.Was ist die Nullstelle von f(x) = 4x − 12?
3.Welche Funktion hat keine Nullstelle?
Klasse 9–1010–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Nullstellen linearer Funktionen durch Umformen bestimmen
Die p-q-Formel sicher anwenden und die Diskriminante interpretieren
Quadratische Funktionen faktorisieren und Nullstellen ablesen
Nullstellen aus der Linearfaktorform f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) direkt entnehmen
Erkennen, wann eine Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen hat
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Geeignet für Klasse 9 und 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die die p-q-Formel üben wollen oder Schwierigkeiten haben, quadratische Gleichungen zu faktorisieren.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Eine Nullstelle einer Funktion ist der x-Wert, bei dem der Funktionswert gleich null ist — also der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse. Bei linearen Funktionen f(x) = mx + b setzt man f(x) = 0 und löst nach x auf: x = −b/m. Bei quadratischen Funktionen x² + px + q = 0 verwendet man die p-q-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Die Diskriminante D = (p/2)² − q entscheidet, ob es zwei, eine oder keine reelle Nullstelle gibt. Alternativ kann man eine quadratische Funktion durch Suche zweier Zahlen faktorisieren oder die Nullstellen direkt aus der Linearfaktorform ablesen.
Typische Fehler
Vergessen, dass D = (p/2)² − q negativ sein kann — dann keine reellen Nullstellen
Bei der Faktorisierung a + b = −p statt a + b = p verwechseln
Den Vorfaktor a in f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) irrtümlich als Nullstelle werten
Bei linearen Funktionen durch m teilen, aber das Vorzeichen von b nicht umkehren
So gehst du vor
- 1
Funktionstyp bestimmen: linear, quadratisch oder faktorisiert?
- 2
f(x) = 0 setzen
- 3
Linear: nach x umformen (x = −b/m)
- 4
Quadratisch: p-q-Formel anwenden — zuerst Diskriminante prüfen
- 5
Faktorisiert: jeden Faktor gleich null setzen und Nullstellen ablesen
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Häufig gestellte Fragen
Nullstellen noch nicht ganz sicher?
In der Nachhilfe üben wir die p-q-Formel und Faktorisierung Schritt für Schritt — bis Nullstellen berechnen zur Routine wird.