Die Gleichung nicht auf Normalform (führender Koeffizient 1) bringen, bevor man die pq-Formel anwendet
Quadratische Gleichungen | Klasse 9–10
Quadratische Gleichungen sicher lösen
Lerne die Normalform kennen, wende die pq-Formel an und faktorisiere Ausdrücke — mit sofortigem Feedback, Lernkarten und Quiz für Klasse 9–10.
Normalform
pq-Formel
Faktorisieren
Diskriminante
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6 Aufgaben verfügbar
Merksätze
x²
Normalform
x²+px+q=0. Die Diskriminante D=p²/4-q gibt die Lösungsanzahl an: D>0: 2, D=0: 1, D<0: 0.
Immer zuerst auf Normalform bringen!
±
pq-Formel
x = -p/2 ± √(p²/4 - q). Gilt für Normalform x²+px+q=0.
Erst p,q ablesen, dann einsetzen. Probe nicht vergessen!
( )
Faktorisieren
(x-x₁)(x-x₂)=0 → x=x₁ oder x=x₂. Zwei Zahlen mit Produkt q und Summe -p suchen.
Binomische Formeln ausnutzen: x²-b²=(x-b)(x+b)
0
Nullstellen
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der Parabel y=x²+px+q.
Eine Parabel kann 0, 1 oder 2 Schnittpunkte mit der x-Achse haben.
Lösungsmethoden
Normalform, pq-Formel und Faktorisieren im Überblick.
Normalform
x² + px + q = 0
Merke: Führender Koeffizient = 1. Diskriminante D = p²/4 - q: D>0: 2 Lösungen, D=0: 1 Lösung, D<0: keine
x²-5x+6=0: p=-5, q=6
x²+4=0: keine Lösung
x²-6x+9=0: Doppellösung
pq-Formel
x = -p/2 ± √(p²/4 - q)
Merke: Merkhilfe: erst (-p/2) berechnen, dann ±√(Diskriminante) addieren/subtrahieren
x²-5x+6=0: x=2,5±0,5 → 3 oder 2
x²+2x-3=0: x=-1±2 → 1 oder -3
Faktorisieren
(x-x₁)(x-x₂) = x² - (x₁+x₂)x + x₁·x₂
Merke: Zwei Zahlen suchen: Produkt = q, Summe = -p. Nullprodukt: (x-a)(x-b)=0 → x=a oder x=b
x²+x-6=(x-2)(x+3)=0
x²-4=(x-2)(x+2)=0
x²-6x+9=(x-3)²=0
Binomische Formeln
(a+b)²=a²+2ab+b² | (a-b)²=a²-2ab+b² | (a-b)(a+b)=a²-b²
Merke: Dritte Formel (Differenz von Quadraten) erkennen: x²-9=(x-3)(x+3)
x²+6x+9=(x+3)²
x²-25=(x-5)(x+5)
x²-4x+4=(x-2)²
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Grundlagen
1/2
1.Was ist die Normalform einer quadratischen Gleichung?
2.x²-16=0 hat die Lösungen...
3.Wann gibt es genau eine Lösung?
Klasse 9–105–20 Minuten Einstiegmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Quadratische Gleichungen in die Normalform x²+px+q=0 bringen
Die pq-Formel sicher anwenden und Lösungen berechnen
Mithilfe der Diskriminante die Lösungsanzahl bestimmen
Quadratische Ausdrücke durch Faktorisieren lösen
Binomische Formeln beim Faktorisieren gezielt einsetzen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 9 und 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die bei der pq-Formel unsicher sind oder beim Faktorisieren das richtige Muster nicht erkennen.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Eine quadratische Gleichung enthält x² als höchste Potenz. In der Normalform x²+px+q=0 lässt sich jede solche Gleichung mit der pq-Formel lösen: x = -p/2 ± √(p²/4 - q). Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante und entscheidet, ob es null, eine oder zwei Lösungen gibt. Alternativ kann man viele quadratische Ausdrücke durch Faktorisieren lösen — besonders mithilfe der binomischen Formeln.
Typische Fehler
Das Vorzeichen bei -p/2 vergessen: x = -p/2, nicht p/2
Beim Berechnen der Diskriminante p²/4 - q das Minus vergessen oder falsch rechnen
Bei x²=c die negative Lösung x=-√c übersehen
Beim Faktorisieren binomische Formeln nicht erkennen (z. B. x²-9=(x-3)(x+3))
So gehst du vor
- 1
Gleichung auf Normalform x²+px+q=0 bringen (führender Koeffizient 1)
- 2
p und q ablesen
- 3
Diskriminante berechnen: D = p²/4 - q
- 4
Falls D ≥ 0: pq-Formel anwenden: x = -p/2 ± √D
- 5
Probe: Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen
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Häufig gestellte Fragen
Noch Schwierigkeiten mit quadratischen Gleichungen?
In der Nachhilfe üben wir die pq-Formel und das Faktorisieren Schritt für Schritt an konkreten Aufgaben, damit du Klausuraufgaben sicher und selbstständig lösen kannst.