Steigungen vergleichen vergessen — erst m₁ und m₂ prüfen, bevor man rechnet
Algebra & Funktionen | Klasse 8–10
Gleichungssysteme grafisch lösen
Verstehe, wann sich zwei Geraden schneiden, wann sie parallel sind und wann sie identisch sind — mit interaktivem Koordinatensystem, 4 Schiebereglern und live berechneten Schnittpunkten.
Schnittpunkt
Parallele Geraden
Identische Geraden
Substitution
Klasse 8–10
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Gleichungssysteme grafisch erkunden
Ein Schnittpunkt
Schnittpunkt: S(-2 | 0)
x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂) = (-2 − 2) / (1 − -1) = -2
Aktuelle Gleichungen
g₁: y = 1x + 2
g₂: y = -1x − 2
−30+3
−40+4
−30+3
−40+4
Merksätze
S
Schnittpunkt
Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn sie verschiedene Steigungen haben (m₁ ≠ m₂). Schnittpunkt berechnen: rechte Seiten gleichsetzen, nach x auflösen, dann y bestimmen.
Formel: x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂). Dann y = m₁ · x + b₁.
∥
Parallele Geraden
Gleiche Steigung m, aber verschiedene y-Achsenabschnitte b: Die Geraden sind parallel. Sie haben keinen gemeinsamen Punkt — das Gleichungssystem ist unlösbar.
m₁ = m₂ und b₁ ≠ b₂ → parallel → kein Schnittpunkt.
≡
Identische Geraden
Gleiche Steigung m UND gleicher y-Achsenabschnitt b: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Unendlich viele Lösungen.
m₁ = m₂ und b₁ = b₂ → identisch → unendlich viele Lösungen.
⇄
Substitutionsmethode
Löse eine Gleichung nach y auf (y = mx + b) und setze den Ausdruck in die zweite Gleichung ein. Dann nach x auflösen und y berechnen.
Immer Probe machen: beide Gleichungen mit dem gefundenen Lösungspaar prüfen.
Thema wählen
Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Gleichungssysteme grafisch lösen
Lagebeziehungen von Geraden verstehen: Schnittpunkt, parallele und identische Geraden.
Schnittpunkt
m₁ ≠ m₂ → genau ein Schnittpunkt
Merke: Rechte Seiten gleichsetzen: m₁x + b₁ = m₂x + b₂. Nach x auflösen, dann y berechnen.
y = 2x + 1 und y = −x + 4: x = (4−1)/(2−(−1)) = 1, y = 3
x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂)
y = m₁ · x + b₁ einsetzen
Parallele Geraden
m₁ = m₂, b₁ ≠ b₂ → kein Schnittpunkt
Merke: Gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt — das Gleichungssystem ist unlösbar.
y = 3x + 1 und y = 3x − 2
Beide steigen gleich steil, aber versetzt
Kein Schnittpunkt → unlösbar
Identische Geraden
m₁ = m₂, b₁ = b₂ → unendlich viele Lösungen
Merke: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.
y = 2x + 3 und y = 2x + 3
2y = 4x + 6 → y = 2x + 3 (identisch)
Unendlich viele Lösungen
Substitutionsmethode
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen, in die andere einsetzen
Merke: Geeignet, wenn eine Gleichung bereits nach y aufgelöst ist. y-Ausdruck in die zweite Gleichung einsetzen und nach x lösen.
y = 2x + 1 in y = −x + 4: 2x+1 = −x+4
3x = 3 → x = 1 → y = 3
Immer Probe: beide Gleichungen mit Lösung prüfen
Wissen testen
Teste dein Wissen zu linearen Gleichungssystemen.
Schnittpunkt & Lagebeziehung
1/2
1.Wann haben zwei Geraden genau einen Schnittpunkt?
2.Wie berechnet man den x-Wert des Schnittpunkts?
3.y = 2x + 3 und y = 2x − 1. Welche Lagebeziehung liegt vor?
Klasse 8–1010–15 Minutenmit interaktivem Koordinatensystem, Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Lagebeziehungen zweier Geraden (Schnittpunkt, parallel, identisch) erkennen
Den Schnittpunkt durch Gleichsetzen der Gleichungen berechnen
Die Formel x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂) anwenden und y einsetzen
Parallele Geraden (gleiche Steigung, verschiedenes b) von identischen (gleiche m und b) unterscheiden
Gleichungssysteme mit der Substitutionsmethode lösen und eine Probe durchführen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klasse 8 bis 10, die lineare Gleichungssysteme verstehen oder festigen möchten — vor allem wenn unklar ist, wann ein System lösbar, unlösbar oder unbestimmt ist.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen entspricht grafisch zwei Geraden im Koordinatensystem. Haben die Geraden verschiedene Steigungen (m₁ ≠ m₂), schneiden sie sich in genau einem Punkt — das System hat eine eindeutige Lösung. Sind die Steigungen gleich (m₁ = m₂), aber die y-Achsenabschnitte verschieden, verlaufen die Geraden parallel: kein Schnittpunkt, das System ist unlösbar. Sind Steigung und y-Achsenabschnitt identisch, beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade: unendlich viele Lösungen. Den Schnittpunkt berechnet man durch Gleichsetzen: m₁x + b₁ = m₂x + b₂, nach x auflösen, dann y einsetzen.
Typische Fehler
Beim Gleichsetzen nicht auf das Vorzeichen achten (z. B. −x + 4 ≠ x + 4)
Den y-Wert des Schnittpunkts nicht berechnen — immer auch y einsetzen
Parallele und identische Geraden verwechseln: beide haben gleiche Steigung, aber identisch hat auch gleiches b
Vergessen, die Probe zu machen — Schnittpunkt in beide Gleichungen einsetzen
So gehst du vor
- 1
Beide Gleichungen in die Form y = mx + b bringen
- 2
Steigungen vergleichen: m₁ ≠ m₂ (Schnittpunkt) oder m₁ = m₂ (parallel/identisch)?
- 3
Bei Schnittpunkt: rechte Seiten gleichsetzen und nach x auflösen: x = (b₂ − b₁) / (m₁ − m₂)
- 4
y-Wert berechnen: y = m₁ · x + b₁ einsetzen
- 5
Probe: Schnittpunkt (x|y) in beide Gleichungen einsetzen und prüfen
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Häufig gestellte Fragen
Gleichungssysteme noch nicht ganz klar?
In der Nachhilfe üben wir Gleichungssysteme Schritt für Schritt — von der grafischen Darstellung über die Substitutionsmethode bis zur Additionsmethode. So wirst du sicher in der Prüfung.