Negative Koordinaten falsch subtrahieren, z. B. −2 − (−5) = −7 statt 3
Analytische Geometrie | Klasse 8–10
Koordinatengeometrie üben
Lerne Abstand und Mittelpunkt zweier Punkte zu berechnen sowie die Steigung und Geradengleichung aufzustellen — mit interaktiven Übungen im Koordinatensystem.
Abstandsformel
Mittelpunkt
Steigung
Geradengleichung
Koordinatensystem
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Merksätze
d=√…
Abstandsformel
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) — der Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem basiert auf dem Satz des Pythagoras.
Negative Koordinaten? Erst subtrahieren, dann quadrieren. Das Vorzeichen verschwindet beim Quadrieren!
M=(…|…)
Mittelpunkt
M = ((x₁+x₂)/2 | (y₁+y₂)/2) — der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der x- und der y-Koordinaten.
Wenn du M und einen Punkt kennst, kannst du den anderen Punkt berechnen: x₂ = 2·M_x − x₁.
m=(Δy/Δx)
Steigung
m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁) — die Steigung beschreibt, wie stark eine Gerade ansteigt oder fällt.
Positive Steigung → Gerade steigt. Negative Steigung → Gerade fällt. m = 0 → waagerecht.
y=mx+b
Geradengleichung
y = m·x + b — m ist die Steigung, b der y-Achsenabschnitt. Erst m berechnen, dann b durch Einsetzen eines Punktes bestimmen.
Tipp: Wähle den Punkt mit x = 0 für b, falls vorhanden. Sonst beliebigen Punkt einsetzen.
Koordinatengeometrie
Abstand, Mittelpunkt und Steigung im Koordinatensystem sicher berechnen.
Abstand zweier Punkte
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
Merke: Die Abstandsformel ist der Satz des Pythagoras im Koordinatensystem: Δx und Δy bilden die Katheten, d die Hypotenuse.
A(0|0), B(3|4): d = √(9+16) = 5
A(−2|1), B(3|13): d = √(25+144) = 13
A(−5|2), B(3|−4): d = √(64+36) = 10
Mittelpunkt zweier Punkte
M = ((x₁+x₂)/2 | (y₁+y₂)/2)
Merke: Der Mittelpunkt ist der Durchschnitt der x- und y-Koordinaten. Addieren und halbieren.
A(2|4), B(8|4) → M(5|4)
A(0|2), B(4|6) → M(2|4)
A(−6|4), B(2|−8) → M(−2|−2)
Steigung einer Geraden
m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)
Merke: Steigung = Steigung in y geteilt durch Steigung in x. m > 0 steigt, m < 0 fällt, m = 0 waagerecht.
A(0|0), B(4|8): m = 8/4 = 2
A(−3|5), B(1|−3): m = −8/4 = −2
A(−2|4), B(4|1): m = −3/6 = −0,5
Geradengleichung aufstellen
y = m·x + b | b = y₁ − m·x₁
Merke: Erst Steigung m berechnen, dann einen bekannten Punkt einsetzen, um den y-Achsenabschnitt b zu bestimmen.
m = 3, P(0|−1): b = −1 → y = 3x − 1
m = −0,5, A(−2|4): b = 3 → y = −0,5x + 3
m = 2, A(2|5): b = 5 − 4 = 1 → y = 2x + 1
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Abstandsformel anwenden
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1.Welche Formel berechnet den Abstand zwischen zwei Punkten?
2.Wie groß ist der Abstand zwischen A(0|0) und B(6|8)?
Klasse 8–1010–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Den Abstand zweier Punkte mit der Abstandsformel berechnen
Den Mittelpunkt einer Strecke aus den Koordinaten beider Endpunkte bestimmen
Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte berechnen
Die Geradengleichung y = mx + b aufstellen
Negative Koordinaten sicher in Formeln einsetzen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 8 bis 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Schwierigkeiten mit der Abstandsformel, dem Mittelpunkt oder der Geradengleichung haben.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die Koordinatengeometrie verbindet Algebra und Geometrie im Koordinatensystem. Zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwendet man die Abstandsformel d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), die direkt aus dem Satz des Pythagoras folgt. Der Mittelpunkt einer Strecke ergibt sich als Durchschnitt der Koordinaten: M = ((x₁+x₂)/2 | (y₁+y₂)/2). Die Steigung m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) beschreibt die Neigung einer Geraden. Aus der Steigung und einem bekannten Punkt lässt sich die Geradengleichung y = mx + b vollständig aufstellen.
Typische Fehler
Bei der Abstandsformel vergessen zu wurzeln
Den Mittelpunkt falsch berechnen — addieren statt subtrahieren
Beim Aufstellen der Geradengleichung x und y vertauschen
Steigung und Achsenabschnitt verwechseln
So gehst du vor
- 1
Koordinaten beider Punkte übersichtlich notieren
- 2
Formel wählen: Abstand, Mittelpunkt oder Steigung
- 3
Werte einsetzen — besonders bei negativen Koordinaten Vorzeichen beachten
- 4
Für Geradengleichung: erst m berechnen, dann Punkt einsetzen für b
- 5
Ergebnis prüfen: Ist b plausibel? Stimmt das Vorzeichen der Steigung?
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Häufig gestellte Fragen
Koordinatengeometrie noch nicht ganz klar?
In der Nachhilfe üben wir Abstand, Mittelpunkt und Geradengleichung Schritt für Schritt — mit vielen Beispielen aus dem Koordinatensystem. So werden Formeln zur Routine.