Die Integrationskonstante C beim unbestimmten Integral vergessen
Algebra | Klasse 11–12
Integralrechnung üben
Lerne Stammfunktionen zu bestimmen, bestimmte Integrale zu berechnen und Flächen unter Kurven zu ermitteln — von der Potenzregel bis zum Hauptsatz der Analysis, mit interaktiver SVG-Visualisierung.
Stammfunktion F(x)
Bestimmtes Integral
Flächenberechnung
∫ₐᵇ f(x) dx
Hauptsatz der Analysis
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Integralrechnung interaktiv erkunden
Stammfunktion
F(x) = x³/3 + C
Stammfunktion von f(x) = x²
Potenzregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
Für f(x)=x²: F(x)=x³/3+C
F(x) = x³/3 + C
Stammfunktion von x² (Potenzregel: n=2 → 2+1=3)
Merksätze
∫xⁿ
Stammfunktion
Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1). Exponent um 1 erhöhen, durch neuen Exponent teilen. Immer +C beim unbestimmten Integral!
Merkhilfe: Exponent +1, dann durch diesen neuen Exponent teilen.
∫ₐᵇ
Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist ein vorzeichenbehafteter Wert — NICHT die geometrische Fläche! Liegt f(x) unter der x-Achse, wird der Wert negativ.
Integral ≠ Fläche! Für die geometrische Fläche: Betrag nehmen oder an Nullstellen aufteilen.
F(b)−F(a)
Hauptsatz der Analysis
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Stammfunktion F bestimmen, dann obere Grenze einsetzen und untere Grenze abziehen.
Reihenfolge: F(oben) minus F(unten). Nicht umgekehrt!
|∫|
Flächenberechnung
Geometrische Fläche = |∫ₐᵇ f(x) dx|. Bei Vorzeichenwechsel von f an Nullstellen aufteilen und Beträge addieren. Zwischen zwei Kurven: ∫(oben−unten) dx.
Fläche ist immer ≥ 0 — bei negativem Integral Betrag nehmen.
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Integralrechnung
Stammfunktionen, bestimmtes Integral und Flächenberechnung verstehen und sicher anwenden.
Potenzregel (unbestimmtes Integral)
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
Merke: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponent teilen, Konstante C addieren. Die Konstante C entsteht, weil F′(x) = f(x) auch für F(x) + C gilt.
∫x² dx = x³/3 + C
∫4x dx = 2x² + C
∫x⁻² dx = −x⁻¹ + C = −1/x + C
Hauptsatz der Analysis
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Merke: Stammfunktion F bestimmen, obere Grenze b einsetzen, untere Grenze a einsetzen, subtrahieren. Reihenfolge: F(oben) − F(unten).
∫₀² x dx = [x²/2]₀² = 2 − 0 = 2
∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = 9 − 1/3 = 26/3
∫₋₁¹ x³ dx = 0 (ungerade Funktion)
Flächenberechnung
Fläche = |∫ₐᵇ f(x) dx| — ggf. an Nullstellen aufteilen
Merke: Das Integral zählt Flächen unterhalb der x-Achse negativ. Für die geometrische Fläche nimm den Betrag — oder teile das Integral an den Nullstellen auf.
f(x)=x²−1, Nullstellen ±1: Fläche = |∫₋₁¹ (x²−1) dx| = 4/3
∫₀² x² dx = 8/3 (f≥0, kein Betrag nötig)
Zwischen f und g: ∫(oben−unten) dx
Rechenregeln
Faktor-, Summen- und Differenzregel
Merke: Konstanten dürfen vor das Integral gezogen werden. Summen und Differenzen werden gliedweise integriert. Jedes Glied für sich nach der Potenzregel behandeln.
∫c·f(x) dx = c·∫f(x) dx
∫(f+g) dx = ∫f dx + ∫g dx
∫(3x²−2x+1) dx = x³−x²+x+C
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Stammfunktion & Potenzregel
1/2
1.Was ergibt ∫xⁿ dx?
2.Welche Stammfunktion hat f(x) = 5?
3.Was bedeutet C in der Stammfunktion F(x) + C?
Klasse 11–1210–15 Minutenmit SVG-Visualisierung, Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Stammfunktionen mit der Potenzregel ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C berechnen
Den Hauptsatz der Analysis ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) sicher anwenden
Bestimmte Integrale durch Einsetzen der Grenzen auswerten
Den Unterschied zwischen vorzeichenbehaftetem Integral und geometrischer Fläche verstehen
Flächen zwischen Kurven und der x-Achse berechnen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klasse 11 und 12, die Integralrechnung neu lernen oder die Potenzregel, den Hauptsatz der Analysis und die Flächenberechnung noch nicht sicher beherrschen.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Eine Stammfunktion F(x) zu f(x) erfüllt F′(x) = f(x). Mit der Potenzregel lassen sich Potenzen direkt integrieren: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C. Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx berechnet man nach dem Hauptsatz der Analysis als F(b) − F(a) — Stammfunktion bilden und die Grenzen einsetzen. Das Integral gibt den vorzeichenbehafteten Flächeninhalt an: Liegt f(x) unterhalb der x-Achse, wird das Integral negativ. Die geometrische Fläche erhält man durch Betragsbildung oder Aufteilen an den Nullstellen.
Typische Fehler
Grenzen beim bestimmten Integral falsch einsetzen: F(b) − F(a), nicht F(a) − F(b)
Negativen Flächeninhalt mit geometrischer Fläche verwechseln — Betrag nicht nehmen
Potenzregel falsch anwenden: ∫x² dx = x³/3, nicht x³ oder x²/2
Bei der Fläche zwischen zwei Kurven die falsche Funktion oben subtrahieren
So gehst du vor
- 1
Stammfunktion F(x) bestimmen: Potenzregel ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C anwenden.
- 2
Für bestimmte Integrale: Grenzen a und b einsetzen — F(b) − F(a) berechnen.
- 3
Vorzeichen prüfen: Liegt f(x) < 0, wird das Integral negativ.
- 4
Für geometrische Fläche: Betrag nehmen oder an Nullstellen aufteilen.
- 5
Zwischen zwei Kurven: obere minus untere Funktion integrieren — ∫(g(x)−f(x)) dx.
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Häufig gestellte Fragen
Integralrechnung noch nicht sicher?
In der Nachhilfe erklären wir Integralrechnung Schritt für Schritt — von der Stammfunktion über den Hauptsatz bis zur sicheren Flächenberechnung.