Logarithmen mit verschiedenen Basen direkt addieren oder subtrahieren (nur gleiche Basen erlaubt)
Algebra | Klasse 10–12
Logarithmen üben
Lerne den Logarithmus sicher anzuwenden — von der Definition über Produkt-, Quotienten- und Potenzregel bis hin zu logarithmischen Gleichungen. Mit 18 interaktiven Übungen, Lernkarten und Quiz.
log_a(b) = c ↔ a^c = b
Produktregel
Quotientenregel
Potenzregel
Logarithmische Gleichungen
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Merksätze
log_a(b) = c
Definition
Der Logarithmus log_a(b) = c bedeutet: a^c = b. Die Basis a muss positiv und ungleich 1 sein, das Argument b muss positiv sein.
Merke: „log_a(b) fragt: Mit welchem Exponenten muss ich a potenzieren, um b zu erhalten?" Beispiel: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.
Produktregel
log(u·v) = log(u) + log(v)
Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen. Gilt für alle Basen a > 0, a ≠ 1.
Merke: „Produkt im Argument → Summe der Logarithmen." Umkehrung: log(u) + log(v) = log(u·v). Beispiel: log₂(4·8) = 2 + 3 = 5.
Quotientenregel
log(u/v) = log(u) − log(v)
Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen. Das Argument muss immer positiv bleiben.
Merke: „Quotient im Argument → Differenz der Logarithmen." Beispiel: log₂(16/4) = log₂(16) − log₂(4) = 4 − 2 = 2.
Potenzregel
log(bⁿ) = n · log(b)
Der Exponent eines Arguments kann vor den Logarithmus gezogen werden. Gilt auch für Brüche: log(√b) = ½·log(b).
Merke: „Exponent im Argument → Faktor vor dem Logarithmus." Beispiel: ln(e³) = 3·ln(e) = 3·1 = 3.
log_a(1) = 0
Spezielle Werte
log_a(1) = 0 für alle Basen a (weil a⁰ = 1). log_a(a) = 1 für alle Basen a (weil a¹ = a). Natürlicher Logarithmus: ln(1) = 0, ln(e) = 1.
Merke: Logarithmus der Basis selbst ist 1. Logarithmus von 1 ist immer 0 — unabhängig von der Basis.
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Logarithmen
Definition, Rechenregeln und logarithmische Gleichungen sicher anwenden.
Definition: log_a(b) = c ↔ a^c = b
Der Logarithmus ist der Umkehrung der Potenz
Merke: Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis a potenzieren, um b zu erhalten? Nur für a > 0, a ≠ 1 und b > 0 definiert.
log₂(8) = 3, weil 2³ = 8
log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000
log_a(1) = 0, log_a(a) = 1
Produktregel: log(u·v) = log(u) + log(v)
Logarithmus eines Produkts = Summe der Logarithmen
Merke: Gilt für beliebige Basen (sofern gleich). Umkehrung: log(u) + log(v) = log(u·v).
log(6·10) = log(6) + log(10)
ln(2·e) = ln(2) + ln(e) = ln(2) + 1
log₂(4·8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5
Quotientenregel: log(u/v) = log(u) − log(v)
Logarithmus eines Quotienten = Differenz der Logarithmen
Merke: Zähler minus Nenner im Logarithmus. Argument muss immer positiv sein!
log₂(16/4) = log₂(16) − log₂(4) = 4 − 2 = 2
ln(e²/e) = ln(e²) − ln(e) = 2 − 1 = 1
lg(100/10) = lg(100) − lg(10) = 2 − 1 = 1
Potenzregel: log(bⁿ) = n · log(b)
Exponent darf vor den Logarithmus gezogen werden
Merke: Besonders nützlich zum Lösen von Exponentialgleichungen. Auch für gebrochene Exponenten (Wurzeln): log(√b) = ½·log(b).
log₃(9²) = 2·log₃(9) = 2·2 = 4
ln(e³) = 3·ln(e) = 3·1 = 3
log(√100) = ½·log(100) = ½·2 = 1
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Definition und Grundwissen
1/2
1.Was bedeutet log_a(b) = c?
2.Was ergibt log_a(1) für alle a > 0, a ≠ 1?
3.Wahr oder falsch: ln(e) = 1
Klasse 10–1210–15 Minutenmit Übungen, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Die Definition log_a(b) = c ↔ a^c = b sicher anwenden und Logarithmen in Potenzform umschreiben
Die Produktregel log_a(u·v) = log_a(u) + log_a(v) korrekt einsetzen
Die Quotientenregel log_a(u/v) = log_a(u) − log_a(v) bei Aufgaben nutzen
Die Potenzregel log_a(bⁿ) = n·log_a(b) anwenden, auch bei Wurzeln
Logarithmische Gleichungen lösen und dabei die Definitionsmenge beachten
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klassen 10 bis 12, die Logarithmen im Unterricht einführen oder festigen. Auch geeignet für Abiturientinnen und Abiturienten, die Rechenregeln und logarithmische Gleichungen wiederholen möchten.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion. log_a(b) = c bedeutet: a^c = b. Man fragt damit: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis a potenzieren, um b zu erhalten? Für den dekadischen Logarithmus (lg) ist die Basis 10, für den natürlichen Logarithmus (ln) ist die Basis die Eulersche Zahl e. Die drei wichtigsten Rechenregeln sind: Produktregel (log(u·v) = log(u)+log(v)), Quotientenregel (log(u/v) = log(u)−log(v)) und Potenzregel (log(bⁿ) = n·log(b)). Spezielle Werte: log_a(1) = 0 und log_a(a) = 1.
Typische Fehler
Das Argument des Logarithmus als negativ oder null zulassen (log ist nur für positive Argumente definiert)
Bei logarithmischen Gleichungen die Definitionsmenge vergessen und ungültige Lösungen nicht ausschließen
Die Potenzregel falsch anwenden: log(b+n) ist nicht n·log(b) — nur log(bⁿ) = n·log(b)
ln und lg verwechseln: ln ist zur Basis e, lg (oder log) zur Basis 10
So gehst du vor
- 1
Prüfe, ob der Logarithmus direkt ausgewertet werden kann (z. B. log₂(8) = 3)
- 2
Wende die passende Rechenregel an: Produktregel bei Produkten, Quotientenregel bei Quotienten, Potenzregel bei Potenzen
- 3
Schreibe bei Gleichungen beide Seiten als Logarithmus zur gleichen Basis und setze die Argumente gleich
- 4
Prüfe die Definitionsmenge: Alle Argumente des Logarithmus müssen positiv sein
- 5
Kontrolliere das Ergebnis durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung
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Häufig gestellte Fragen
Logarithmen noch nicht sicher?
In der Nachhilfe erarbeiten wir Logarithmen Schritt für Schritt — von der Definition über Rechenregeln bis zu logarithmischen Gleichungen. So wird der Stoff zur Routine statt zur Fehlerquelle.