σ² (Varianz) und σ (Standardabweichung) verwechseln: N(μ, σ²) enthält die Varianz, nicht σ
Stochastik | Klasse 11–12
Normalverteilung üben
Lerne die Normalverteilung von Grund auf: Glockenkurve erkunden, die 68-95-99.7-Regel anwenden und z-Werte sicher berechnen — mit interaktiver SVG-Visualisierung und 18 Übungsaufgaben.
Glockenkurve
68-95-99.7-Regel
Standardnormalverteilung N(0,1)
z-Wert
Erwartungswert μ
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Normalverteilung interaktiv erkunden
Normalverteilung N(μ, σ²)
μ = 0, σ = 1
Ca. 68% der Werte liegen in [μ−σ, μ+σ]
Dichtefunktion
φ(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/(2σ²))
−20+2
0.512
Merksätze
N(μ,σ²)
Normalverteilung
Glockenkurve mit Erwartungswert μ (Modus, Symmetriezentrum) und Standardabweichung σ (Breite der Kurve). Die Fläche unter der Kurve ist immer 1.
Je kleiner σ, desto schmaler und steiler die Glockenkurve.
68–95–99.7%
3-Sigma-Regel
In [μ−σ, μ+σ] liegen ca. 68%, in [μ−2σ, μ+2σ] ca. 95% und in [μ−3σ, μ+3σ] ca. 99.7% aller Werte einer Normalverteilung.
Merke: 1σ → 68%, 2σ → 95%, 3σ → fast alles (99.7%).
z = (x−μ)/σ
z-Transformation
Der z-Wert standardisiert jeden Messwert x: Er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert μ entfernt ist. z > 0: über μ, z < 0: unter μ.
Rückrechnung: x = μ + z·σ
N(0,1)
Standardnormal
Die Standardnormalverteilung hat μ=0 und σ=1. Jede Normalverteilung lässt sich durch z-Transformation auf N(0,1) zurückführen. Φ(z) = P(Z≤z).
P(Z≤0) = 0.5 und P(Z≥z) = 1−Φ(z)
x = μ + z·σ
Quantil berechnen
Ein Quantil ist der x-Wert zu einem gegebenen Φ-Wert. Gegeben: P(X ≤ x) = Φ(z). Schritte: (1) z aus Φ-Tabelle ablesen, (2) x = μ + z·σ berechnen.
Umkehrung der z-Transformation: z→x statt x→z. Φ(1)≈0,8413 → z=1; Φ(2)≈0,9772 → z=2. Wichtig für Abitur-Aufgaben.
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Normalverteilung
Glockenkurve, 68-95-99.7-Regel, Standardnormalverteilung und z-Werte verstehen und anwenden.
Dichtefunktion
φ(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x−μ)²/(2σ²))
Merke: Die Normalverteilung ist eine Glockenkurve, die symmetrisch um μ ist. Je kleiner σ, desto steiler und schmaler die Kurve.
N(0,1): Standardnormalverteilung
N(100, 225): μ=100, σ=15
Fläche unter der Kurve = 1 (immer!)
68-95-99.7-Regel
1σ: 68% | 2σ: 95% | 3σ: 99.7%
Merke: Im Intervall [μ−σ, μ+σ] liegen ca. 68% aller Werte. Im Intervall [μ−2σ, μ+2σ] ca. 95% und in [μ−3σ, μ+3σ] ca. 99.7%.
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68
P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0.95
P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0.997
Standardnormalverteilung
Z ~ N(0,1): μ=0, σ=1
Merke: Die Standardnormalverteilung ist die Referenz. Jede Normalverteilung lässt sich auf N(0,1) zurückführen. Φ(z) gibt die Fläche links von z an.
P(Z ≤ 0) = 0.5 (Symmetrie)
P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.68
P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z)
z-Transformation
z = (x − μ) / σ
Merke: Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert x vom Mittelwert μ entfernt ist. Positiv: über μ, negativ: unter μ.
x = μ+σ → z = 1
x = μ−2σ → z = −2
x = μ+z·σ (Rückrechnung)
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Grundbegriffe der Normalverteilung
1/2
1.Was beschreibt der Parameter μ bei der Normalverteilung?
2.Wie groß ist die Fläche unter der gesamten Glockenkurve?
3.Was gilt für den Bereich [μ−3σ, μ+3σ] bei einer Normalverteilung?
Klasse 11–1210–15 Minutenmit SVG-Visualisierung, Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Die Dichtefunktion φ(x) der Normalverteilung und ihre Parameter μ (Lage) und σ (Breite) verstehen
Die 68-95-99.7-Regel sicher anwenden: 68%, 95% und 99.7% der Werte in 1σ, 2σ und 3σ
Die Standardnormalverteilung N(0,1) kennen und Wahrscheinlichkeiten mit der Φ-Funktion berechnen
z-Werte berechnen: z = (x − μ) / σ und die Rückrechnung x = μ + z·σ
Symmetrieeigenschaft nutzen: P(X ≤ μ) = 0.5 und P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z)
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klasse 11 und 12, die die Normalverteilung in Stochastik neu einführen oder die 68-95-99.7-Regel und z-Werte noch nicht sicher anwenden können.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Die Normalverteilung (Glockenkurve) ist die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Sie wird durch zwei Parameter beschrieben: den Erwartungswert μ (Mittelpunkt, Symmetriezentrum, Modus) und die Standardabweichung σ (Breite der Kurve). Je kleiner σ, desto steiler und schmaler die Kurve. Die Gesamtfläche unter der Kurve beträgt immer 1. Die 68-95-99.7-Regel besagt: Ca. 68% der Werte liegen in [μ−σ, μ+σ], ca. 95% in [μ−2σ, μ+2σ] und ca. 99.7% in [μ−3σ, μ+3σ]. Für Wahrscheinlichkeitsberechnungen standardisiert man auf die Standardnormalverteilung N(0,1) mithilfe der z-Transformation: z = (x − μ) / σ.
Typische Fehler
Vergessen: P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z) — Gegenwahrscheinlichkeit für rechtsseitige Flächen
Die 68-95-99.7-Regel falsch anwenden: 1σ → 68%, nicht 50%
z-Formel umgekehrt: z = σ / (x − μ) statt z = (x − μ) / σ
Nicht beachten, dass P(X ≤ μ) = 0.5 für jede Normalverteilung gilt (unabhängig von σ)
So gehst du vor
- 1
Parameter ablesen: μ (Erwartungswert) und σ (Standardabweichung) aus der Aufgabe entnehmen.
- 2
68-95-99.7-Regel anwenden: Liegt x in [μ±σ], [μ±2σ] oder [μ±3σ]?
- 3
Für genaue Wahrscheinlichkeiten: z-Wert berechnen mit z = (x − μ) / σ.
- 4
Φ-Tabelle ablesen: P(X ≤ x) = Φ(z) gibt die linksseitige Wahrscheinlichkeit.
- 5
Gegenwahrscheinlichkeit nutzen: P(X ≥ x) = 1 − Φ(z).
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Häufig gestellte Fragen
Normalverteilung und Stochastik noch nicht sicher?
In der Nachhilfe erklären wir Stochastik Schritt für Schritt — von der Normalverteilung über z-Werte bis zu Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Φ-Tabelle.