Seitenhöhe l und Körperhöhe h der Pyramide verwechseln
Geometrie | Klasse 7–9
Pyramide und Kegel berechnen
Lerne Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel mit interaktiver Visualisierung — von der Grundformel über die Seitenhöhe bis zu Anwendungsaufgaben aus dem Alltag.
V = (1/3) · a² · h
V = (1/3) · π · r² · h
Oberfläche
Mantellinie
Pythagoras
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Pyramide und Kegel interaktiv erkunden
Quadratische Pyramide
V = 32 cm³
O = 66,6 cm²
V = (1/3) · a² · h · O = a² + 2 · a · l
Seitenhöhe (Apothema)
l = √((a/2)² + h²) = 6,32 cm
18
110
Merksätze
△
Pyramide — Volumen
V = (1/3) · a² · h. Die Pyramide hat ein Drittel des Quadervolumens mit gleicher quadratischer Grundfläche und Höhe.
Merkhilfe: Drei Pyramiden passen exakt in einen Quader — daher das Drittel.
▲
Pyramide — Oberfläche
O = a² + 4 · (a · l / 2). Seitenhöhe l (Apothema) mit Pythagoras: l = √((a/2)² + h²).
Vorsicht: Seitenhöhe l ist NICHT die Körperhöhe h!
▽
Kegel — Volumen
V = (1/3) · π · r² · h. Kegel = ein Drittel Zylinder. Grundfläche = π · r².
Radius quadrieren — nicht verdoppeln! r² ≠ 2r.
🔻
Kegel — Oberfläche
O = π · r² + π · r · s. Mantellinie s = √(r² + h²) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
3-4-5 und 5-12-13 sind klassische Pythagoras-Tripel für den Kegel.
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Pyramide und Kegel
Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel sicher berechnen.
Volumen Pyramide
V = (1/3) · a² · h
Merke: Eine Pyramide hat genau ein Drittel des Volumens eines Quaders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
a = 3 cm, h = 4 cm: V = (1/3) · 9 · 4 = 12 cm³
a = 6 cm, h = 5 cm: V = (1/3) · 36 · 5 = 60 cm³
a = 4 cm, h = 9 cm: V = (1/3) · 16 · 9 = 48 cm³
Oberfläche Pyramide
O = a² + 2 · a · l (l = Seitenhöhe)
Merke: Grundfläche + 4 Dreiecke. Seitenhöhe (Apothema): l = √((a/2)² + h²).
a = 4, l = 5: O = 16 + 4·(4·5/2) = 16 + 40 = 56 cm²
Seitenhöhe ≠ Körperhöhe — Pythagoras benutzen!
O = a² + 4 · (a · l / 2)
Volumen Kegel
V = (1/3) · π · r² · h
Merke: Kegel = ein Drittel Zylinder. Radius quadrieren nicht vergessen!
r = 3 cm, h = 7 cm: V = (1/3) · π · 9 · 7 ≈ 66,0 cm³
r = 5 cm, h = 12 cm: V = (1/3) · π · 25 · 12 ≈ 314,2 cm³
r = 2 cm, h = 6 cm: V = (1/3) · π · 4 · 6 ≈ 25,1 cm³
Oberfläche Kegel
O = π · r² + π · r · s (s = Mantellinie)
Merke: Grundfläche (π · r²) + Mantelfläche (π · r · s). Mantellinie: s = √(r² + h²).
r = 3, s = 5: O = π · 9 + π · 15 = 24π ≈ 75,4 cm²
Mantellinie immer mit Pythagoras: s = √(r² + h²)
r = 4, h = 3 → s = 5 (3-4-5-Dreieck)
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Pyramide
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1.Wie lautet die Volumenformel für eine quadratische Pyramide?
2.Eine Pyramide hat Grundkante a = 3 cm und Höhe h = 3 cm. Wie groß ist V?
3.Was ist die Seitenhöhe (Apothema) einer Pyramide?
Klasse 7–910–15 Minutenmit SVG-Explorer, Übungen und Quiz
Was du hier lernst
Das Volumen einer quadratischen Pyramide mit V = (1/3) · a² · h berechnen
Die Oberfläche einer Pyramide über die Seitenhöhe (Apothema) bestimmen
Das Volumen eines Kegels mit V = (1/3) · π · r² · h berechnen
Die Mantellinie s = √(r² + h²) mit dem Satz des Pythagoras ermitteln
Anwendungsaufgaben aus Alltag und Technik lösen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 7 bis 9 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Schwierigkeiten mit den Körperformeln haben oder nicht wissen, wann sie die Seitenhöhe bzw. die Mantellinie mit Pythagoras berechnen müssen.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Pyramide und Kegel gehören zu den Spitzkörpern. Ihr gemeinsames Merkmal: Das Volumen ist immer ein Drittel des entsprechenden Prismen- bzw. Zylindervolumens. Bei der quadratischen Pyramide gilt V = (1/3) · a² · h. Für die Oberfläche braucht man die Seitenhöhe l (Apothema), die mit dem Satz des Pythagoras aus halber Grundkante und Körperhöhe berechnet wird: l = √((a/2)² + h²). Beim Kegel gilt V = (1/3) · π · r² · h. Die Mantellinie s (schräge Seite) ergibt sich aus s = √(r² + h²). Mit s lässt sich dann die Oberfläche O = π · r² + π · r · s berechnen.
Typische Fehler
Radius beim Kegel nicht quadrieren (r² statt r)
Die Mantellinie s mit der Höhe h gleichsetzen
π vergessen oder falsch runden
Volumen statt Oberfläche oder umgekehrt berechnen
So gehst du vor
- 1
Bestimmen: Pyramide oder Kegel? Welche Größe ist gesucht — Volumen oder Oberfläche?
- 2
Gegebene Maße notieren: a und h (Pyramide) oder r und h (Kegel)
- 3
Für die Oberfläche: Seitenhöhe l bzw. Mantellinie s mit Pythagoras berechnen
- 4
Formel einsetzen und schrittweise ausrechnen
- 5
Ergebnis mit Einheit angeben (cm³ für Volumen, cm² für Oberfläche)
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Häufig gestellte Fragen
Pyramide und Kegel noch nicht ganz sicher?
In der Nachhilfe üben wir Körperberechnungen Schritt für Schritt — von der richtigen Formelwahl über Pythagoras bis zum Einheitenwechsel. So wird das Berechnen von Volumen und Oberfläche zur Routine.