Vektor (ax | ay) mit Punkt (x | y) verwechseln — Vektoren haben keinen festen Ort
Algebra & Funktionen | Klasse 9–10
Vektoren verstehen und rechnen
Lerne Vektoren als Pfeile im Koordinatensystem darzustellen, ihren Betrag mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen und Vektoren komponentenweise zu addieren und subtrahieren — mit SVG-Explorer und gezielten Übungen.
SVG-Explorer
Vektordarstellung
Betrag
Addition
Subtraktion
Quiz
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Vektoren interaktiv erkunden
Vektor a⃗
a⃗ = (3 | 2)
|a⃗| = √(3² + 2²) = 3.61
Komponentendarstellung
→ waagerecht: 3 Einheiten
↑ senkrecht: 2 Einheiten
−50+5
−50+5
Merksätze
→
Vektordarstellung
Ein Vektor a⃗ = (ax | ay) beschreibt eine Verschiebung: ax Einheiten horizontal, ay Einheiten vertikal. Kein fester Startpunkt.
Die Komponenten können negativ sein: negatives ax = links, negatives ay = nach unten.
|·|
Betrag
|a⃗| = √(ax² + ay²). Der Betrag ist die Länge des Vektors — immer ≥ 0. Formel stammt vom Satz des Pythagoras.
(3 | 4) → 3-4-5-Dreieck: |a⃗| = 5. Merke dir dieses Beispiel!
+
Vektoraddition
a⃗ + b⃗ = (ax+bx | ay+by). Komponentenweise addieren. Geometrisch: Parallelogramm-Diagonale.
Pfeilkettenmethode: b⃗ an die Spitze von a⃗ anlegen — der Ergebnisvektor führt vom Start zu neuen Spitze.
−
Vektorsubtraktion
a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗) = (ax−bx | ay−by). Subtraktion ist Addition des Gegenvektors.
−b⃗ hat dieselbe Länge wie b⃗, aber entgegengesetzte Richtung. Alle Komponenten negieren.
Thema wählen
Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Vektoren (Grundlagen)
Vektoren darstellen, Betrag berechnen, addieren und subtrahieren.
Vektordarstellung
a⃗ = (ax | ay) — Spaltenschreibweise
Merke: Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: ax Einheiten horizontal, ay Einheiten vertikal. Kein fester Startpunkt.
a⃗ = (3 | 2): 3 rechts, 2 hoch
b⃗ = (−2 | 0): 2 links, keine vertikale Bewegung
c⃗ = (0 | −4): nur 4 nach unten
Betrag eines Vektors
|a⃗| = √(ax² + ay²)
Merke: Der Betrag ist die Länge des Vektors. Formel ist der Satz des Pythagoras: Komponenten sind die Katheten.
a⃗ = (3 | 4): |a⃗| = √(9+16) = 5
b⃗ = (0 | −5): |b⃗| = √(0+25) = 5
c⃗ = (1 | 1): |c⃗| = √2 ≈ 1,41
Vektoraddition
a⃗ + b⃗ = (ax+bx | ay+by)
Merke: Komponentenweise addieren. Geometrisch: Parallelogramm-Diagonale oder Pfeilkette (b⃗ an Spitze von a⃗ anlegen).
(2|1) + (1|3) = (3|4)
(3|0) + (−3|0) = (0|0) — Nullvektor
(−1|2) + (4|−1) = (3|1)
Vektorsubtraktion
a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗) = (ax−bx | ay−by)
Merke: Subtraktion = Addition des Gegenvektors. −b⃗ hat dieselbe Länge wie b⃗, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.
(5|3) − (2|1) = (3|2)
(1|4) − (3|−2) = (−2|6)
Gegenvektor von (2|−3) ist (−2|3)
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Vektoren — Grundlagen
1/2
1.Wie berechnet man den Betrag des Vektors a⃗ = (ax | ay)?
2.Welche Komponenten hat der Nullvektor?
3.Was gilt für den Gegenvektor −a⃗ eines Vektors a⃗ = (2 | −3)?
Klasse 9–105–15 Minutenmit Explorer und Übungen
Was du hier lernst
Vektoren in der Spaltenschreibweise a⃗ = (ax | ay) darstellen und interpretieren
Den Betrag eines Vektors mit |a⃗| = √(ax² + ay²) berechnen
Vektoren komponentenweise addieren: a⃗ + b⃗ = (ax+bx | ay+by)
Vektoren komponentenweise subtrahieren: a⃗ − b⃗ = (ax−bx | ay−by)
Die Parallelogramm- und Pfeilkettenmethode geometrisch verstehen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Klasse 9 und 10 sowie für Schülerinnen und Schüler, die Vektoren mit Punkten verwechseln, die Betragsformel nicht sicher anwenden oder bei der Subtraktion negative Vorzeichen übersehen.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Ein Vektor a⃗ = (ax | ay) beschreibt eine Verschiebung: ax Einheiten horizontal und ay Einheiten vertikal. Im Gegensatz zu einem Punkt hat ein Vektor keinen festen Startpunkt. Der Betrag |a⃗| = √(ax² + ay²) gibt die Länge des Vektors an (Satz des Pythagoras). Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert. Geometrisch entspricht die Summe zweier Vektoren der Diagonalen des von ihnen aufgespannten Parallelogramms.
Typische Fehler
Beim Betrag das Vorzeichen der Komponenten vergessen (Quadrieren macht negative Werte positiv)
Beim Subtrahieren negativer Komponenten falsch rechnen: ay − (−by) = ay + by
Komponenten bei Addition in falscher Reihenfolge zuordnen
Den Nullvektor (0 | 0) nicht als gültigen Vektor erkennen
So gehst du vor
- 1
Vektor a⃗ = (ax | ay) in der Spaltenschreibweise aufschreiben
- 2
Vom Startpunkt ax Einheiten horizontal und ay Einheiten vertikal verschieben
- 3
Betrag berechnen: |a⃗| = √(ax² + ay²)
- 4
Bei Addition: Komponenten addieren — (ax+bx | ay+by)
- 5
Bei Subtraktion: Komponenten subtrahieren oder Gegenvektor addieren — a⃗ + (−b⃗)
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