Bei Drehung um 90° falsches Vorzeichen — Richtung (Uhrzeigersinn vs. gegen) beachten
Geometrie | Klasse 7–9
Drehung, Streckung und Punktspiegelung
Lerne geometrische Abbildungen im Koordinatensystem: Drehung mit Winkelformeln, zentrische Streckung mit Streckfaktor und Punktspiegelung am Ursprung oder einem beliebigen Zentrum.
Drehung
Streckung
Punktspiegelung
Koordinatensystem
Klasse 7–9
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Geometrische Abbildungen erkunden
Drehung um den Ursprung
α = 45°
Gestrichelt: Original. Farbig: gedrehtes Bild.
Formel
90°: (x|y) → (−y|x) | 180°: (x|y) → (−x|−y)
0°180°360°
Merksätze
↺
Drehung
90° gegen Uhrzeigersinn: (x|y) → (−y|x). 180°: (x|y) → (−x|−y). Der Abstand zum Drehzentrum bleibt immer erhalten.
Merkhilfe: Bei 90° vertauscht man x und y und ändert ein Vorzeichen — welches, hängt von der Richtung ab.
k
Zentrische Streckung
Streckung vom Ursprung mit Faktor k: P(x|y) → P′(k·x|k·y). k > 1: Vergrößerung. 0 < k < 1: Verkleinerung.
Flächen wachsen mit k², Längen mit k. Ein negativer Faktor spiegelt zusätzlich am Zentrum.
↔
Punktspiegelung am Ursprung
P(x|y) → P′(−x|−y). Beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen. Original und Bild liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Ursprungs.
Spezialfall einer Drehung um 180°. Abstand zum Ursprung bleibt erhalten.
Z
Punktspiegelung an Z
Für Zentrum Z(z₁|z₂): P′ = (2z₁ − x|2z₂ − y). Das Zentrum Z ist der Mittelpunkt von Urbild und Bild.
Kontrolle: Mittelpunkt von P und P′ muss gleich Z sein.
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Schwierigkeit
6 Aufgaben verfügbar
Drehung, Streckung und Punktspiegelung
Geometrische Abbildungen im Koordinatensystem verstehen und sicher anwenden.
Drehung
90° gegen UZS: (x|y) → (−y|x) | 180°: (x|y) → (−x|−y)
Merke: Der Abstand zum Drehzentrum bleibt immer erhalten. Winkel im Uhrzeigersinn sind negativ.
P(3|0), 90° gegen UZS → P′(0|3)
P(2|4), 180° → P′(−2|−4)
P(0|5), 90° im UZS → P′(5|0)
Zentrische Streckung
P(x|y) → P′(k·x|k·y) vom Ursprung
Merke: k > 1: Vergrößerung. 0 < k < 1: Verkleinerung. k < 0: zusätzliche Punktspiegelung. Flächen wachsen mit k².
P(2|3), k = 2 → P′(4|6)
P(4|6), k = 0,5 → P′(2|3)
Fläche 5 cm², k = 3 → 45 cm²
Punktspiegelung am Ursprung
P(x|y) → P′(−x|−y)
Merke: Beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen. Original und Bild liegen immer auf gegenüberliegenden Seiten des Zentrums.
P(3|5) → P′(−3|−5)
P(−2|4) → P′(2|−4)
P(0|6) → P′(0|−6)
Punktspiegelung an einem Zentrum Z
P′ = (2z₁ − x | 2z₂ − y) für Zentrum Z(z₁|z₂)
Merke: Z ist der Mittelpunkt von P und P′. Forme um: P′ = 2·Z − P.
P(1|2), Z(3|3) → P′(5|4)
P(4|0), Z(2|2) → P′(0|4)
Kontrolle: Mittelpunkt von P und P′ = Z
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Drehung
1/2
1.Welche Koordinaten hat P′, wenn P(2|0) um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird?
2.Wie ändert sich der Abstand zum Drehzentrum bei einer Drehung?
3.Um wie viel Grad muss man ein gleichseitiges Dreieck drehen, damit es sich deckt?
Klasse 7–910–15 Minutenmit SVG-Explorer, Lernkarten und Quiz
Was du hier lernst
Drehungen um den Ursprung um 90°, 180° und 270° sicher berechnen
Die Formeln für Drehung gegen und im Uhrzeigersinn anwenden
Zentrische Streckungen vom Ursprung mit beliebigem Streckfaktor durchführen
Den Unterschied zwischen Vergrößerung (k > 1) und Verkleinerung (0 < k < 1) erklären
Punktspiegelungen am Ursprung und an einem beliebigen Zentrum berechnen
Zielgruppe
Für wen ist dieses Tool geeignet?
Besonders hilfreich für Schülerinnen und Schüler der Klassen 7 bis 9, die geometrische Abbildungen im Koordinatensystem verstehen möchten oder Schwierigkeiten mit den Formeln für Drehung, Streckung und Punktspiegelung haben.
Einfach erklärt
Thema einfach erklärt
Geometrische Abbildungen im Koordinatensystem sind ein zentrales Thema der Mittelstufe. Bei der Drehung um den Ursprung gelten feste Formeln: Eine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn überführt P(x|y) in P′(−y|x), eine Drehung um 180° in P′(−x|−y). Der Abstand zum Drehzentrum bleibt bei jeder Drehung erhalten. Bei der zentrischen Streckung vom Ursprung mit Streckfaktor k werden beide Koordinaten mit k multipliziert: P′(k·x|k·y). Längen wachsen mit k, Flächen mit k². Die Punktspiegelung am Ursprung ist ein Sonderfall der Drehung um 180°: (x|y) → (−x|−y). Für eine Punktspiegelung an einem beliebigen Zentrum Z(z₁|z₂) gilt: P′ = (2z₁ − x|2z₂ − y).
Typische Fehler
Streckfaktor k auf die Koordinatensumme statt auf jede Koordinate einzeln anwenden
Flächeninhalt mit k statt mit k² skalieren
Punktspiegelung an Z(z₁|z₂) mit Spiegelung an der Achse z₁ oder z₂ verwechseln
Abstand zum Drehzentrum bei Drehungen verändern (er bleibt konstant)
So gehst du vor
- 1
Abbildungsart bestimmen: Drehung, Streckung oder Punktspiegelung?
- 2
Passende Formel aufschreiben und Werte einsetzen
- 3
Jeden Eckpunkt des Urbildes einzeln transformieren
- 4
Bildpunkte im Koordinatensystem eintragen und Bild zeichnen
- 5
Ergebnis prüfen: Längen, Abstände und Winkel korrekt?
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Häufig gestellte Fragen
Geometrische Abbildungen noch nicht sicher?
In der Nachhilfe üben wir Drehung, Streckung und Punktspiegelung Schritt für Schritt — mit anschaulichen Zeichnungen und klaren Formeln. So werden die Abbildungen zur Routine.